Các dạng toán và bài tập giới hạn có lời giải chi tiết - Nguyễn Bảo Vương

Tài liệu toán 11 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 1

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số có giới hạn là khi dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ

ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: hay khi

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số có giới hạn là (hay dần tới ) khi nếu

Kí hiệu: hay khi

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) với nguyên dương;

b) nếu

c) Nếu ( là hằng số) thì

Chú ý: Từ nay về sau thay cho

ta viết tắt là .

I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Định lí 1

a) Nếu và thì

(nếu ).

b) Nếu thì

II – ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Tài liệu toán 11 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 2

Cấp số nhân vô hạn có công bội , với được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

1. Định nghĩa

Ta nói dãy số có giới hạn là khi , nếu có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ

một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: hay khi

Dãy số có giới hạn là khi , nếu .

Kí hiệu: hay khi

Nhận xét:

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) với nguyên dương;

b) nếu .

3. Định lí 2

a) Nếu và thì .

b) Nếu , và thì

c) Nếu và thì

IV – GIỚI HẠN VÔ CỰC

Tài liệu toán 11 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 3

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

1. + = + n 2 lim 1 n 1 2. − = +

2

2 n 1 1 lim 2 2n 1

3. − = − + 2 1 2n lim 2 n 1

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số = − n n n (u ) : u ( 1) không có giới hạn.

Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau:

1. + = +∞ 2 n 1 lim n 2. − = −∞ 2 n lim n

1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 Chứng minh rằng:

1. = + 1 lim 0 n 1 2. = k 1 lim 0 n

∈ (k *) 3. = +

2 sin n lim 0 n 2

4. + = +∞ lim(2n 1) 5. − = −∞ 2 1 n lim n

Bài 2 Chứng minh các giới hạn sau

1. = + 2 lim 0 n 1 2. + = + 2 cosn sinn lim 0 n 1

3. + = + n 1 lim 0 n 2

4. + = +∞ 3

2 3n n lim n

5. − = −∞ +

2 n lim n 1

.

Bài 3 Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau :

1. + = − 2n 1 A lim n 2 2. + = + 2 2n 3 B lim n 1

3. + = +

2 n 1 C lim n 1 .

Bài 4 Tìm các giới hạn sau

1. − = n 2 n A lim 2n 2. − = 2

2 nsinn 3n B lim n

3. = + + 2 1 C lim n 2 n 7

4. + = + + 2 4n 1 D lim n 3n 2

.

Bài 5 Chứng minh rằng dãy số = − n n n (u ) : u ( 1) n không có giới hạn.

Bài 6 Chứng minh các giới hạn sau:

1. = n a lim 0 n! 2. = n lim a 1 với > a 0

Bài 7

Phương pháp:

Để chứng minh ta chứng minh với mọi số nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số sao cho

.

Để chứng minh ta chứng minh .

Để chứng minh ta chứng minh với mọi số lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên sao cho

.

Để chứng minh ta chứng minh .

Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa

Tài liệu toán 11 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 4

1. Nếu dãy số n (x ) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình  + + +     

1 2 n x x ... x n cũng có giới hạn là a .

2. Dãy số n (x ) thỏa mãn điều kiện < < 1 1 x 2 và + = + − ∀∈ 2 * n 1 n n 1 x 1 x x , n . 2 Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ.

Tìm n lim x .

1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau :

1. + + + + − = + 2 n 1 3 5 ... (2n 1) A lim 2n 1

2. + + + − = + + + + 3 2 2 2 1 2 ... n n B lim 1 2 ... n 2n

Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau :

1.         = − − −                 2 2 2 1 1 1 C lim 1 1 ... 1 2 3 n

2.   = + + + +   +  

1 1 1 1 D lim ... 1.2 2.3 3.4 n(n 1)

Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau :

1.

+ + − = +

n 1 n 1

n n 4 5 A lim 4 5

2.

+ −

+ − = +

n 2 n 1

n n 1 4.3 2.7 B lim 4 7

Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau :         = − − −                 2 2 2 1 1 1 C lim 1 1 ... 1 2 3 n

1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 Tìm các giới hạn sau :

1. + + = − +

2

2 2n 3n 1 A lim 3n n 2

2. + = − +

2

2 n 2n B lim n 3n 1

3. ( ) ( ) + + = +

4 9 2

17

2n 1 n 2 C lim n 1

4. + − + = + + −

3 2 3

4 4 n 1 3n 2 D lim 2n n 2 …