Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số - Nguyễn Minh Tuấn

Giới hạn của dãy số

Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB

MỞ ĐẦU

Trong môn Toán ở trường THPT, các bài toán về dãy số và giới hạn dãy số là một phần quan trọng của giải tích toán học. Dãy số ngày càng được quan tâm đúng mức và tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo của phương pháp và kỹ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho người giải.

Các bài toán dãy số không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học.

Trong các kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia, Quốc tế các bài toán liên quan đến dãy số đặc biệt là giới hạn dãy số được đề cập rất nhiều và có giá trị phân hóa chất lượng bài thi cao.

Trong bài viết này tác giả trình bày một sô phương pháp tìm giới hạn dãy số: phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất của các dãy số đặc biệt, định lí kẹp, phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn, phương pháp dùng sai phân, phương pháp sử dụng tính chất của hàm số, phương trình, phương pháp lượng giác hóa...Một điều quan trọng là sử dụng các kỹ thuật biến đổi linh hoạt, phù hợp, hiểu được các ý tưởng trong từng phương pháp để giải quyết bài toán với hiệu quả tốt nhất.

Các ví dụ và bài tập được chọn lọc là các đề thi HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế, các bài trên các tạp chí nỗi tiếng. Bài viết được trình bày theo hệ thống:

- Kiến thức sử dụng. - Ý tưởng chính của phương pháp. - Các ví dụ và hướng dẫn giải. - Bài tập tự giải. Tác giả hy vọng bài viết này sẽ giúp các em học sinh bổ sung kiến thức về phần dãy số trong các kì thi học sinh giỏi và tài liệu tham khảo bổ ích cho bạn đọc.

Giới hạn của dãy số

Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB

NỘI DUNG I) Phương pháp sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số 1. Kiến thức sử dụng:

Định nghĩa:

* lim 0, : n n u L N N n N u L           Sử dụng:

- Tiêu chuẩn Cô-si: Dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi  > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m, n  N ta có |xm – xn| < . - Nguyên lý ánh xạ co: Nếu với mọi x, y ta có |f(x) – f(y)|  q|x-y| với q là hằng số 0 < q < 1 và {xn} bị chặn thì {xn} hội tụ. Đặc biệt nếu |f’(x)|  q < 1 thì ta luôn có điều này.

Ý tưởng chính: Đánh giá 1 ; 1 n n u L q u L q      và 1 1 ; 1 n n n n u u q u u q       Phương pháp này thường được dùng khi ta thấy dãy số không tăng, không giảm. 2. Các ví dụ:

Bài 1: (Đề thi HSG Quảng Bình) Cho dãy số 1

1 3 u  và 2 1

1 1 2 n n u u  . Tìm giới hạn dãy

số? HD: Chứng minh: 1 0 nu  

Giải phương trình 2 1 1 1 3 2 x x x a    

Xét

2 2 1 3 1 1 2 2 2 2

n n n n n u a u a u a u a u a               

Suy ra lim 1 3 nu 

Bài 2: (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a và dãy số thực ( ) n u xác định bởi:

1u a  và un+1 = ln(3+cosun + sinun) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3, …

Chứng minh rằng dãy số (un )có giới hạn hữu hạn.

HD: Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 thì

cos sin '( ) 3 sin cos x x f x x x    

Từ đó, sử dụng đánh giá | cos sin | 2, | sin cos | 2 x x x x     ta suy ra

.1 2 3

2 |) (' |     q x f

Áp dụng định lý Lagrange với m > n  N, ta có |um – un| = |f(um-1) – f(un-1)|  q|um-1-un-1|  … qn-1|um-n+1 – u1|. Do dãy (un) bị chặn và q < 1 nên dãy (xn) thoả mãn điều kiện Cauchy nên có giới hạn hữu hạn.