Bất phương trình mũ không chứa tham số

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC

CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1

GIẢI BPT MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ - ĐÁNH GIÁ

(KHÔNG CHỨA THAM SỐ)

PHƯƠNG PHÁP Nhắc lại kiến thức cũ :

 Đạo hàm : ( ) . .ln u u a u a a ′ ′ =

 Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng D thì ( ) ( ) , : x y D f x f y x y ∀ ∈ > ⇔ >

 Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng D thì ( ) ( ) , : x y D f x f y x y ∀ ∈ > ⇔ <

Bước 1 : Đặt điều kiện của bpt (nếu có) Bước 2 : Các phương pháp giải

 Phương pháp 1 : Dùng tính đơn điệu của hàm số  Phương pháp 2 : Dùng phương pháp đồ thị hàm số  Phương pháp 3 : Đánh giá

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình ( )

2 25 2 2021 3 25 .4 1 x x x − + + − ≤

A. 10. B. 11. C. 8. D. 9. Lời giải Chọn B

Xét bất phương trình ( ) ( )

2 25 2 2021 3 25 .4 1 1 x x x − + + − ≤

Ta có: 2021 4 0, x x + > ∀∈

TH1: Xét 2 25 0 5 x x − = ⇔ = ± ta có ( ) 1 1 1 VT = ≤ (Đúng) nên bpt ( ) 1 có nghiệm 5 x = ±

TH2: Xét 2 5 25 0 5

x x x

< −  − > ⇔> 

Ta có

( ) ( )

2 25 0

2 2021 3 3 1 1 1 25 .4 0

x

x VT x

−

+  > =  ⇒ >  − > 

nên bpt ( ) 1 vô nghiệm.

TH3: Xét 2 25 0 5 5 x x − < ⇔−< <

Ta có

( ) ( )

2 25 0

2 2021 3 3 1 1 1 25 .4 0

x

x VT x

−

+  < =  ⇒ <  − < 

nên bpt ( ) 1 có nghiệm 5 5 x −< <

Vậy nghiệm của bpt đã cho là [ ] 5;5 x∈− .

Vì x nguyên nên { } 5; 4; 3; 2; 1;0 x∈± ± ± ± ± có 11 giá trị

Câu 2. Giải bất phương trình

1 6 3 10 2 1

x

x x

+ − > − ta được tập nghiệm ( ) ; S a b = . Tính giá trị của biểu thức

10 3 P b a = −

A. 5 P = . B. 4 P = . C. 2 P = . D. 0 P = . Lời giải Chọn A

Điều kiện ( ) 1 0; * 2 x x ≠ ≠

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC

Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Với điều kiện ( ) * , ta có:

( )

( )

1 1 1

1 1

0 0 1 10 2 6 6 3 3 6 3 10 2 1 2 1 2 1 0 0 2 10 2 6 6 3 3 2 1 2 1

x x x

x x

x x

x x x x x x x x

x x x x

+ + +

+ +

 >  >       −     − > <   −   − −   > ⇔ ⇔   − < <         −   − < >     − −    

Gọi ( ) C và ( ) H theo thứ tự là đồ thị của hàm số ( ) 1 3x y g x + = = và ( ) 2 6 2 1 x y f x x − = = −

Dựa vào đồ thị, ta có: hệ bpt ( ) 1 có nghiệm 1 0 2 x < < ; hệ bpt ( ) 2 vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là 1 0; 2 S   =    

suy ra 1 0; 2 a b = = nên 10 3 5 P b a = − = .

Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình

12 2 1 0 2 1

x

x x −− + ≥ − là

A. [ ] 0;1 . B. ( ] 0;1 . C. ( ] 1;0 − . D. ( ] 0;2 .

Lời giải Chọn B Điều kiện: 2 1 0 0 x x −≠ ⇔ ≠ .

Xét hàm số ( )

1 2 2 2 1 2 1 2

x x f x x x − = − + = − + + có ( ) 2.ln 2 2 0 2x f x ′ = −− < , x ∀.

Do đó hàm số này nghịch biến trên . Vậy ( ) ( ) 12 2 1 0 1 1 1 0 x x f x f x x −− + > ⇔ > ⇔ < ⇔− > tức là ( ) f x cùng dấu với 1 x − .

Xét hàm số ( ) 2 1 x g x = − có ( ) 2 .ln 2 0 x g x ′ = > , x ∀. Do đó hàm số này đồng biến trên .

Vậy ( ) 2 1 0 0 0 x g x x −> ⇔ > ⇔ > tức là ( ) g x cùng dấu với x.

Suy ra bất phương trình đã cho tương đương với 1 0 0 1 x x x − ≥ ⇔ < ≤.

Vậy tập nghiệm của BPT là ( ] 0;1 S = .

Câu 4. Bất phương trình

2 2 2 sin cos sin 2 3 4.3 x x x + ≥ có bao nhiêu nghiệm nguyên trên [ ] 2021 ;2022 π π − .