Các dạng bài tập VDC phương trình mũ và phương trình lôgarit

BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng   0; 1 x a b a a   

- Nếu 0 b  thì phương trình có duy nhất một nghiệm loga x b  ;

- Nếu 0 b  hoặc 0 b  thì phương trình vô nghiệm.

2. Cách giải một số phương trình mũ cơ bản

a) Đưa về cùng cơ số

     , 0, 1 A x B x a a A x B x a a     

b) Phương pháp đặt ẩn phụ

2 . 0 x x a a       . Đặt   , 0 x t a t  

c) Logarit hóa

Nếu phương trình cho ở dạng ( ) 0 1

0 ( ) log

f x

a

a

a b b

f x b

ì < ¹ ïïïï =  > íïïï = ïî

.

II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Phương trình logarit cơ bản: là phương trình có dạng loga x b  với 0 1 a < ¹

log b a x b x a   

2. Cách giải một số phương trình mũ cơ bản

a) Đưa về cùng cơ số

   

0, 1 ( ) 0 ( ( ) 0) log log

a a

a a f x hoac g x f x g x f x g x

        

b) Phương pháp đặt ẩn phụ

2 log .log 0 a a x x       . Đặt   log , 0 a t x x  

c) Mũ hóa

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

1. Phương pháp

Phương pháp đưa phương trình mũ về cùng cơ số

- Biến đổi các hàm số có mặt trong phương trình về cùng cơ số, sau đó rút gọn, đưa về dạng cơ bản

hoặc về dạng: ( ) ( ) ( ) ( ). ( f x g x a a f x g x      Vôùi 0 a 1).(Thường gặp)

- Nếu cơ số a thay đổi thì:            0 ) ( ) ( )1 ( 0 ) ( ) ( x g x f a a a a x g x f (Ít gặp).

Phương pháp đưa phương trình loga về cùng cơ số

Biến đổi phương trình để đưa về dạng cơ bản đã nêu hoặc là dạng: log log . a a M N M N   

2. Bài tập

Bài tập 1. Tìm tích số của tất cả các nghiệm thực của phương trình

2 3 2 7 49 7 x x 

A. 1 . B. 1. C. 1 2  . D. 1 2 .

Lời giải

Chọn A

2 2 3 3 5 2 2 2 2 2

1 5 3 5 2 7 49 7 7 7 1 0 2 2 1 5 2

x x x x x x x x x

x

                     

Khi đó tích các nghiệm là:1 5 1 5 . 1 2 2   .

Bài tập 2. Cho phương trình    

2 1 2 7 4 3 2 3      x x x . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Phương trình có hai nghiệm không dương.

B. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu.

D. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.

Lời giải

Chọn A

Do  

2 7 4 3 2 3    nên phương trình ban đầu tương đương với

     

2 2 1 2 2 3 2 3      x x x 2 2 2 2 2      x x x 2 2 0    x x

0 1 2

    

x

x .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm không dương.

Bài tập 3. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. Vô nghiệm. B. Một nghiệm. C. Hai nghiệm. D. Ba nghiệm.

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: và .

Ta có

.

Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm và .

Bài tập 4. Tập nghiệm S của phương trình

3 1 4 7 16 0 7 4 49

           

x x là

A. 1 2        S . B.  2  S . C. 1 1 ; 2 2        . D. 1 ; 2 2        S .

Lời giải

Chọn A

Ta có

3 1 4 7 16 0 7 4 49

           

x x

2 1 2 4 4 7 7

               

x 2 1 2   x 1 2   x .

Cách trắc nghiệm: Nhập VT phương trình vào máy tính, dùng nút Calc thử các nghiệm.

Bài tập 5. Phương trình  

2 1 7 1 8 0,25. 2

x x x   có tích các nghiệm bằng?

A. 4 7 . B. 2 3 . C. 2 7 . D. 1 2 .

    2 3 4 8 2 log 1 2 log 4 log 4 x x x      

4 4 x   1 x 

    2 3 4 8 2 log 1 2 log 4 log 4 x x x            2 2 log 4 1 log 4 4 x x x         

2 4 1 16 x x      

 

2

2 4 1 16

4 1 16

x x

x x

        

2

2 4 12 0

4 20 0

x x

x x

        

2 6

2 2 6

2 2 6

x x

x

x

         

2 x  2 2 6 x  