Các dạng bài tập VDC hàm số mũ và hàm số lôgarit

BÀI 4. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT

A. KIẾN THỨC CO BẢN CẦN NẮM

1. Hàm số mũ

Định nghĩa

Hàm số   0; 1 x y a a a    được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Tập xác định

Hàm số   0; 1 x y a a a    có tập xác định là .

Đạo hàm

Hàm số   0; 1 x y a a a    có đạo hàm tại mọi x.

 ' ln x x a a a 

 ' ln . ' u u a a a u 

  lim 0, lim 1 ; x x

x x a a a     

  lim , lim 0 0 1 . x x

x x a a a      

Sự biến thiên

 Khi 1 a  hàm số luôn đồng biến.

 Khi 0 1 a   hàm số luôn nghịch biến.

Đồ thị

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các

điểm    0;1 , 1;a và nằm phía trên trục hoành.

2. Hàm số lôgarit

Định nghĩa

Hàm số   log 0; 1 a y x a a    được gọi là hàm số lôgarit cơ

số a.

Đặc biệt: ' e x x e  .

Tập xác định

Tập xác định:   0;.

Đạo hàm

Hàm số   log 0; 1 a y x a a    có đạo hàm tại mọi x dương và

  1 log ' ln a x x a  .

Giới hạn đặc biệt

  0 lim log , lim log 1 a a x x x x a       ;

  0 lim log , lim log 0 1 a a x x x x a        .

Sự biến thiên

 Khi 1 a  hàm số luôn đồng biến.

 Khi 0 1 a   hàm số luôn nghịch biến.

Đồ thị

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các

điểm    1;0 , ;1 a và nằm bên phải trục tung.

Nhận xét: Đồ thị của các hàm số x y a  và

loga y x    0, 1 a a   đối xứng với nhau qua đường thẳng

y x  .

Ứng dụng

1. Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không

tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì

hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp,

cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra.

Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với

lãi đơn r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn

Đặc biệt:   1 ln ' x x  .

lãi sau n kì hạn ( * n ) là:   1 n S A nAr A nr    

2. Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không

rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.

Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với

lãi kép r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn

lãi sau n kì hạn ( * n ) là:   1 n n S A r   .

3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số

tiền vào một thời gian cố định.

Công thức tính: Đầu mỗi tháng, khách hàng gửi vào ngân

hàng số tiền A đồng với lãi kép r (% / tháng) thì số tiền khách

hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( * n ) (nhận tiền

cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là Sn .

Ta có     1 1 1 n n A S r r r         .

4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng

Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r (% / tháng).

Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng.

Công thức tính:     1 1 1

n n n r X A r S r          .

Khi đó số tiền còn lại sau n tháng là

    1 1 1

n n n r S A r X r

    

5. Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với

lãi suất r (% / tháng). Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt

đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi

hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.

Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống

hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng

nên ta có     1 1 1

n n n r S A r X r

     .

  1 log ; n r S n A        

% 1; n n S r A  

  1

n n S A r  

    1 . log 1 ; 1

n r S r n A r            

    1 . log 1 ; 1

n r S r n A r            

  

.

1 1 1

n n S r A r r        