Các dạng bài tập VDC lôgarit

BÀI 3. LÔGARIT

A. KIẾN THƯC CƠ BẢN CẦN NẮM

1. Khái niệm lôgarit

Cho hai số dương ,a b với 1 a . Số  thỏa mãn

đẳng thức a b  được gọi là lôgarit cơ số a của

b , và ký hiệu là log  a b .

2. Tính chất

Cho , 0, 1 a b a  . Ta có:

  log log 0; log 1

; log  

 

  a

a a

b a

a

a b a

Nhận xét:   log , 0, 1        a b a b a b a

Bài tập: 3 2 log 8 3 2 8   

Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0.

3. Quy tắc tính lôgarit

a. Lôgarit của một tích

Cho 1 2 , , 0 a b b  với 1 a , ta có:

1 2 1 2 log ( )   a a a bb log b log b

Chú ý: Định lý trên có thể mở rộng cho tích của n

số dương:

  1 1 log ... log ... log a n a a n b b b b   

trong đó 1 2 , , ,..., 0, 1. n a b b b a  

Bài tập:

 1 1 log log 2 log .2 log 1 0; 2 2              

 3 3 3 3 3 1 2 3 7 8 log log log ... log log 2 3 4 8 9     

3 1 2 3 7 8 log . . ..... . 2 3 4 8 9       

3 1 log 2. 9  

b. Lôgarit của một thương

Cho 1 2 , , 0 a b b  với 1, a  ta có:

1 1 2 2 log log log a a a b b b b   

Đặc biệt: 1 log log a a b b    0, 0 . a b  

Bài tập:

• 5 5 5 125 log log 125 log 25 3 2 1; 25     

• 7 7 1 log log 49 2. 49  

c. Lôgarit của một lũy thừa Bài tập:

Cho hai số dương , , a b 1. a  Với mọi , ta có:

log log a a b b   

Đặc biệt:

1 log log n a a b b n 

• 3 2 2 log 8 3log 8 3.3 9;   

• 4 2 2 1 1 3 log 8 log 8 .3 . 4 4 4   

4. Đổi cơ số

Cho , , 0; 1; 1, a b c a c    ta có:

log log log

c a c

b b a 

Đặc biệt:   1 log 1 ; log a b b b a  

  1 log log 0 . a a b b     

Bài tập:

• 2 8 2

log 16 4 log 16 ; log 8 3  

• 3 27

1 log 27 3; log 3  

• 7 128 2 2 1 1 log 2 log 2 log 2 . 7 7   

5. Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên

a. Lôgarit thập phân

Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Với

10 0, log b b  thường được viết là logb hoặc

lgb .

b. Lôgarit tự nhiên

Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e . Với

0, loge b b  được viết là lnb .

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP

Dạng 1. Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện. Rút gọn biểu thức.

1. Phương pháp giải

Để tính loga b ta có thể biến đổi theo một trong các cách

sau:

• , b a  từ đó suy ra log log ; a a b a   

• , a b  từ đó suy ra 1 log b log ; a b b    

• , a c  , b c  từ đó ta suy ra

log log . a c b c      

 Để tính loga c b , ta biến đổi b a  , từ đó suy ra

log log a a c c b a c    

Bài tập:

• 5 7 32 2 7 log 128 log 2 ; 5  

• 2 2 log 9 5log 9 5 32 2 9 .  

2. Bài tập

Bài tập 1: Cho ,b,c,d 0 a  . Rút gọn biểu thức S ln ln ln ln a b c d b c d a     ta được

A. 1. S  B. S 0. 

C. ln . a b c d S b c d a           D.   ln . S abcd 

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có: ln ln ln ln ln . . . ln1 0. a b c d a b c d S b c d a b c d a             

Bài tập 2: Cho , 0 a b  và , 1 a b , biểu thức 3 4 log .logb a P b a  bằng

A. 6 B. 24 C. 12. D. 18.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có : 1 2

3 4 3 4 3 1 log .log log .log .4.log . 24. 1 log 2

b b a a a a P b a b a b b    

Bài tập 3: Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn 1, a  a b  và log 3. a b  Biến đổi biểu

thức P log b a

b a  ta được

A. 5 3 3. P  B. 1 3. P 

C. 1 3. P  D. 5 3 3. P 

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:

    1 1 log log 1 3 1 3 1 2 2 1 3. 1 log 1 3 2 log 1 log 2

a a

a a a

b b a P b b b a

          