Bài giảng đạo hàm Toán 11 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

9

Chương

ĐẠO HÀM

§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

TRỌNG TÂM KIẾN THỨC A

1. Đạo hàm của hàm sốtại một điểm

Định nghĩa 1.1. Cho hàm sốy = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x0 ∈(a; b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

lim x→x0 f(x) −f(x0)

x −x0

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm sốy = f(x) tại điểm x0, kí hiệu bởi f ′(x0) (hoặc y′(x0)), tức là

f ′(x0) = lim x→x0 f(x) −f(x0)

x −x0 .

Chú ý. Đểtính đạo hàm của hàm sốy = f(x) tại điểm x0 ∈(a; b), ta thực hiện theo các bước sau:

a) Tính f(x) −f(x0).

b) Lập và rút gọn tỉsốf(x) −f(x0)

x −x0 với x ∈(a; b), x ̸= x0.

c) Tìm giới hạn lim x→x0 f(x) −f(x0)

x −x0 .

Ví dụ1

Tính đạo hàm của hàm sốy = f(x) = x2 + 2x tại điểm x0 = 1.

b Lời giải.

Ta có f(x) −f(1) = x2 + 2x −3 = (x −1)(x −3).

Với x ̸= 1, f(x) −f(1)

x −1 = (x −1)(x −3)

x −1 = x −3.

Tính giới hạn lim x→1 f(x) −f(1)

x −1 = lim x→1(x + 3) = 4.

Vậy f ′(1) = 4. Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau:

f ′(1) = lim x→1 f(x) −f(1)

x −1 = lim x→1 (x2 + 2x) −3

x −1 = lim x→1 (x −1)(x + 3)

x −1 = lim x→1(x + 3) = 4.

□

LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131

1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Trang 235

Chú ý. Đặt h = x −x0, khi đó đạo hàm của hàm sốđã cho tại điểm x0 = 1 có thểtính như sau:

f ′(1) = lim h→0 f(1 + h) −f(1)

h = lim h→0 [(1 + h)2 + 2(1 + h)] −(12 + 2)

h

= lim x→x0 (h2 + 4h + 3) −3

h = lim h→0(h + 4) = 4.

2. Đạo hàm của hàm sốtrên một khoảng

Định nghĩa 1.2. Hàm sốy = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm f ′(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là y′ = f ′(x).

Ví dụ2

Tìm đạo hàm của hàm sốy = cx2 với c là hằng số.

b Lời giải.

Với x0 bất kỳ, ta có:

f ′(x0) = lim x→x0 cx2 −cx2 0 x −x0 = lim x→x0 c(x −x0)(x + x0)

x −x0 = lim x→x0 c(x + x0) = c(x0 + x0) = 2cx0.

Vậy hàm sốy = cx2 (với c là hằng số) có đạo hàm là hàm sốy′ = 2cx. □ Chú ý. Nếu phương trình chuyển động của vật là s = f(t) thì v(t) = f ′(t) là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t.

Ví dụ3

Giải bài toán sau (bỏqua sức cản của không khí và làm tròn kết quảđến chữsốthập phân thứ nhất). Nếu một quảbóng được thảrơi tựdo từđài quan sát trên sân thượng của tòa nhà Landmark 81 (Thành phốHồChí Minh) cao 461,3 m xuống mặt đất. Có tính được vận tốc của quảbóng khi nó chạm đất hay không?

b Lời giải.

Phương trình chuyển động rơi tựdo của quảbóng là s = f(t) = 1

2gt2 (g là gia tốc rơi tựdo, lấy

g = 9,8 m/s2). Do vậy, vận tốc của quảbóng tại thời điểm t là v(t) = f ′(t) = gt = 9,8t. Mặt khác, vì chiều cao của tòa tháp là 461,3 m nên quảbóng sẽchạm đất tại thời điểm t1, với f(t1) = 461,3. Từ đó, ta có:

4,9t2 1 = 461,3 ⇔t1 =

462,3

4,9 (giây).

Vậy vận tốc của quảbóng khi nó chạm đất là

v(t1) = 9,8t1 = 9,8 ·

461,3

4,9 ≈95,1 (m/s).

□ 3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

a) Tiếp tuyến của đồthịhàm số

Định nghĩa 1.3. Tiếp tuyến của đồthịhàm sốy = f(x) tại điểm P(x0; f(x0)) là đường

thẳng đi qua P với hệsốgóc k = lim x→x0 f(x) −f(x0)

x −x0 nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn,

nghĩa là k = f ′(x0). Điểm P gọi là tiếp điểm.

LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131