Hướng dẫn giải các dạng toán đạo hàm

CHƯƠNG5 ĐẠO HÀM

BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa 1. Cho hàm sốy = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈(a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

lim x→x0 f (x) −f (x0)

x −x0

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm sốy = f (x) tại điểm x0 và ký hiệu là f ′(x0) (hoặc y′(x0)), tức là

f ′(x0) = lim x→x0 f (x) −f (x0)

x −x0 .

△ ! Đại lượng ∆x = x −x0 được gọi là sốgia của đối sốtại x0. Đại lượng ∆y = f (x) −f (x0) = f (x0 + ∆x) −f (x0) được gọi là sốgia tương ứng của hàm số. Như vậy

y′(x0) = lim ∆x→0 ∆y ∆x.

2 QUAN HỆGIỮA SỰTỒN TẠI CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Định lí 1. Nếu hàm sốy = f (x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. △ ! a) Định lí 1 tương đương với khẳng định: Nếu y = f (x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

b) Mệnh đềđảo của Định lí 1 không đúng. Một hàm sốliên tục tại một điểm có thểkhông có đạo hàm tại điểm đó.

3 Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM

Định lí 2. Đạo hàm của hàm sốy = f (x) tại điểm x0 là hệsốgóc của tiếp tuyến của đồthịhàm số y = f (x) tại điểm M0(x0; f (x0)).

Định lí 3. Phương trình tiếp tuyến của đồthị(C ) của hàm sốy = f (x) tại điểm M0(x0; f (x0)) là

y −y0 = f ′(x0)(x −x0),

trong đó y0 = f (x0).

4 Ý NGHĨA VẬT LÍ CỦA ĐẠO HÀM

a) v(t) = s′(t) là vận tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t.

b) I(t) = Q′(t) là cường độtức thời của dòng điện Q = Q(t) tại thời điểm t.

465

466 CHƯƠNG 5. ĐẠO HÀM

5 ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa 2. Hàm sốy = f (x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu có có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. Khi đó, ta gọi hàm số

f ′ : (a; b) −→R

x 7−→f ′(x)

là đạo hàm của hàm sốy = f (x) trên khoảng (a; b), ký hiệu là y′ hay f ′(x).

6 ĐẠO HÀM MỘT BÊN

Định nghĩa 3. a) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên phải

lim x→x+ 0

f (x) −f (x0)

x −x0 ,

ta sẽgọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm sốy = f (x) tại điểm x = x0 và kí hiệu là f ′(x+ 0 ).

b) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên trái

lim x→x− 0

f (x) −f (x0)

x −x0 ,

ta sẽgọi giới hạn đó là đạo hàm bên trái của hàm sốy = f (x) tại điểm x = x0 và kí hiệu là f ′(x− 0 ). Các đạo hàm bên phải và bên trái được gọi chung là đạo hàm một bên.

Định lí 4. Hàm sốy = f (x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉkhi f ′(x+ 0 ), f ′(x− 0 ) tồn tại và bằng nhau. Khi đó, ta có f ′(x+ 0 ) = f ′(x− 0 ) = f ′(x0).

Định nghĩa 4. Hàm sốy = f (x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a; b] nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

- Có đạo hàm tại mọi x ∈(a; b);

- Có đạo hàm bên phải tại x = a;

- Có đạo hàm bên trái tại x = b.

B CÁC DẠNG TOÁN

{ DẠNG 1.1. Tính đạo hàm của hàm sốbằng định nghĩa

Đểtính đạo hàm của hàm sốy = f (x) tại điểm x0 bằng định nghĩa, ta thực hiện như sau:

Bước 1. Giảsử∆x là sốgia của đối sốtại x0, tính

∆y = f (x0 + ∆x) −f (x0).

Bước 2. Lập tỉsố∆y

∆x.

1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 467

Bước 3. Tìm lim ∆x→0 ∆y ∆x.

VÍ DỤ1. Tính đạo hàm của hàm sốf (x) = 2

x tại điểm x0 = 3.

L Lời giải

Giảsử∆x là sốgia của đối sốtại x0 = 3. Ta có

∆y = f (3 + ∆x) −f (3) = 2 3 + ∆x −2

3 = − 2∆x 3(3 + ∆x);

∆y ∆x = − 2 3(3 + ∆x);

lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0 −2 3(3 + ∆x) = −2

9.

Vậy f ′(3) = −2

9. □

VÍ DỤ2. Tính đạo hàm của hàm sốy = −x2 + 3x −2 tại điểm x0 = 2.

L Lời giải

Giảsử∆x là sốgia của đối sốtại x0 = 2. Ta có

∆y = f (2 + ∆x) −f (2) = [−(2 + ∆x)2 + 3(2 + ∆x) −2] −(−22 + 3 · 2 −2) = −∆2x −∆x; ∆y ∆x = −∆x −1;

lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0(−∆x −1) = −1.

Vậy y′(2) = −1. □

VÍ DỤ3. Tính đạo hàm của hàm sốf (x) = √x tại điểm x0 = 1.

L Lời giải

Giảsử∆x là sốgia của đối sốtại x0 = 1. Ta có

∆y = f (1 + ∆x) −f (1) = √

1 + ∆x −1;

∆y ∆x = √

1 + ∆x −1

∆x ;

lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0

√

1 + ∆x −1

∆x = lim ∆x→0 1 √

1 + ∆x + 1 = 1

2.

Vậy f ′(1) = 1

2. □