Bài tập đạo hàm - Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

Trang 71

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm • Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b):

x x

f x f x f x x x 0

0 0 0

( ) ( ) '( ) lim → − = − =

x

y x 0 lim ∆

∆ ∆ → (∆x = x – x0, ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0))

• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. 2. Ý nghĩa của đạo hàm • Ý nghĩa hình học: + f′ (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại ( ) M x f x 0 0 ; ( ) .

+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại ( ) M x y 0 0 ; là:

y – y0 = f′ (x0).(x – x0) • Ý nghĩa vật lí: + Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t0 là v(t0) = s′(t0). + Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q′(t0). 3. Qui tắc tính đạo hàm

• (C)′ = 0 (x)′ = 1 (xn)′ = n.xn–1 n N n 1   ∈   >  

( ) x

x

1

2

′ =

• u v u v ( )′ ′ ′ ± = ± uv u v v u ( )′ ′ ′ = + u u v v u v v2

′   ′ −′ =     (v ≠ 0)

ku ku ( )′ ′ = v v v2 1 ′   ′ = −    

• Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u′x và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là y′u thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là: x u x y y u. ′ = ′ ′

4. Đạo hàm của hàm số lượng giác

• x x x 0 sin lim 1 → = ;

x x u x u x 0

sin ( ) lim 1 ( ) → = (với x x u x

0 lim ( ) 0 → = )

• (sinx)′ = cosx (cosx)′ = – sinx ( ) x

x 2 1 tan

cos ′ = ( ) x

x 2 1 cot

sin ′ = −

5. Vi phân • dy df x f x x ( ) ( ).∆ = = ′ • f x x f x f x x 0 0 0 ( ) ( ) ( ). ∆ ∆ + ≈ + ′

6. Đạo hàm cấp cao

• [ ] f x f x ''( ) '( ) ′ = ; [ ] f x f x '''( ) ''( ) ′ = ; n n f x f x ( ) ( 1) ( ) ( ) − ′   =   (n ∈ N, n ≥ 4) • Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là a(t0) = f′′(t0).

CHƯƠNG V ĐẠO HÀM

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

Trang 72

VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước: B1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0. Tính ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0).

B2: Tính

x

y x 0 lim ∆

∆ ∆ → .

Baøi 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:

a) y f x x x 2 ( ) 2 2 = = − + tại x0 1 = b) y f x x ( ) 3 2 = = − tại x0 = –3

c) x y f x x 2 1 ( ) 1 + = = − tại x0 = 2 d) y f x x ( ) sin = = tại x0 = 6

π

e) y f x x 3 ( ) = = tại x0 = 1 f) x x y f x x

2 1 ( ) 1 + + = = − tại x0 = 0

Baøi 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) f x x x 2 ( ) 3 1 = − + b) f x x x 3 ( ) 2 = − c) f x x x ( ) 1, ( 1) = + > −

d) f x x

1 ( ) 2 3 = −

e) f x x ( ) sin = f) f x x 1 ( ) cos =

VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm. Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp. Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y x x x 4 3 1 2 2 5 3 = − + − b) y x x x x2 3 2 . 3 = − + c) y x x 3 2 ( 2)(1 ) = − −

d) y x x x 2 2 2 ( 1)( 4)( 9) = − − − e) y x x x 2 ( 3 )(2 ) = + − f) ( ) y x x

1 1 1   = + −    

g) y x

3 2 1 = + h) x y x 2 1 1 3

+ = − i) x x y

x x

2

2 1

1

+ − =

− +

k) x x y x

2 3 3 1 − + = − l) x x y x

2 2 4 1 3 − + = − m) x y

x x

2

2 2

2 3 =

− −

Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y x x 2 4 ( 1) = + + b) y x2 5 (1 2 ) = − c) 3 2 11 ( 2 1) = − + y x x

d) 2 5 ( 2 ) = − y x x e) ( ) y x

4 2 3 2 = − f) y x x 2 2 1

( 2 5) = − +

g) x y x

2

3 ( 1)

( 1)

+ = − h) x y x

3 2 1 1   + =   −  

i)

3

2 3 2   = −     y x

Baøi 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y x x 2 2 5 2 = − + b) y x x 3 2 = − + c) y x x = +

d) y x x2 ( 2) 3 = − + e) y x 3 ( 2) = − f) ( ) y x

3 1 1 2 = + −