Bài giảng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

Trang 1

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, điều kiện để hai mặt phẳng

vuông góc.

+ Nắm được định lý ba đường vuông góc.

+ Phát biểu và vận dụng được cách tìm thiết diện bằng quan hệ vuông góc.

 Kĩ năng

+ Chứng minh được đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

+ Chứng minh được hai mặt phẳng vuông góc.

+ Xác định được thiết diện và giải được các bài toán liên quan đến chu vi và diện tích của thiết

diện.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định nghĩa

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng   nếu d

vuông góc với mọi đường thằng a thuộc mặt phẳng . 

Kí hiệu:  d   hay  . d 

Định lí

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi và chỉ khi nó vuông góc

với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng ấy.

Hệ quả

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì

nó cũng vuông góc với cạnh còn lại của tam giác đó.

Tính chất

Tính chất 1: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho

trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Tính chất 2: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho

trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

  a, a d d      

  

a

a . a ,

a

d d b

b

b M

  

            

Có duy nhất đường thẳng d đi qua B

và vuông góc với  .

Có duy nhất mặt phẳng   đi qua A

và vuông góc với . d

TOANMATH.com Trang 2

Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung

điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng . AB

Tính chất 3:

 Một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng thì nó cũng

vuông góc với bất kì đường thẳng nào song song đường thẳng ấy.

 Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì

song song với nhau.

Tính chất 4:

 Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó cũng

vuông góc với bất kì mặt phẳng nào song song mặt phẳng ấy.

 Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì

song song với nhau.

Tính chất 5:

Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó cũng vuông

góc với bất kì đường thẳng nào song song mặt phẳng ấy.

Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng

đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song

với nhau.

Phép chiếu vuông góc

Cho đường thẳng  d   .

Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng   được gọi

là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng  

Định lí ba đường vuông góc

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng   và b là đường thẳng

không thuộc   đồng thời không vuông góc với  . Gọi b là

hình chiếu của b trên . 

Khi đó a a b b    .

M là hình chiếu của M lên . 

TOANMATH.com Trang 3

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng  .

 Nếu d vuông góc với mặt phẳng   thì ta nói góc giữa đường

thẳng d và mặt phẳng   bằng 90 .

 Nếu d không vuông góc với mặt phẳng   thì góc giữa d với

hình chiếu d của nó trên   được gọi là góc giữa đường thẳng d

vả mặt phẳng . 

2. Hai mặt phẳng vuông góc

Định nghĩa

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 .

      , 90 P Q P Q    

Tính chất

 Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi trong mặt

phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

    a . a

P

P Q Q

     

 Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng

nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng

vuông góc với mặt phẳng kia.

      a a .

a

P Q

P Q b P Q

b

          

 Cho hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau. Nếu từ một

điểm thuộc mặt phẳng  P dựng một đường thẳng vuông góc với

mặt phẳng  Q thì đường thẳng này nằm trong  P .

     a .

a

A P

P Q P

A Q

          