Bảng tóm tắt công thức Toán 12

BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC TOÁN 12

CÔNG THỨC LŨY THỪA

Cho các số dương ,a b và , m n . Ta có:

 0 1 a   . ........... n

n thừa số a a a a với * n  1 n

n a a



 ( ) ( ) m n mn n m a a a    . m n m n a a a   

m

m n n a a a

 

 ( ) n n n a b ab  

n n

n a a b b      



1 2

1 3 3

n m n m a a a a

a a

  

 

CÔNG THỨC LOGARIT

Cho các số , 0, 1 a b a  . Ta có:

 loga b a b       10 lg log log b b b    ln loge b b 

 log 1 0 a   log 1 a a   log b a a b 

 1 log log m a a b b m   log log n a a b n b   log log m

n

a a

n b b m 

 log ( ) log log a a a bc b c    log log log a a a b b c c       



log

log log

a

b b

b

c a a b

a c

    

 log .log log a b a b c c   log log log

a

b a

c c b   1 log log a

b b a 

HÀM SỐ LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT

HÀM LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

 Dạng: y x

y u



 



với u là đa

thức đại số.

 Tập xác định:

Nếu . ĐK u

Nếu 0. ĐK u

Nếu 0. ĐK u

 Đạo hàm:

1

1.

y x y x

y u y u u

 

  





    

    

 Dạng:

x

u y a

y a

với 0. 1

a

a

 Tập xác định: . D

 Đạo hàm:

ln

ln .

x x

u x y a y a a

y a y a a u

.

Đặc biệt: ( )

( ) .

x x

u u e e

e e u

.

 Sự biến thiên:

x y a

Nếu 1 a thì hàm đồng biến

trên . Nếu 0 1 a thì

hàm nghịch biến trên .

 Dạng: log

log

a

a

y x

y u

với 0. 1

a

a

 Đặc biệt: ln ; a e y x

10 log lg a y x x .

 Điều kiện xác định: 0 u .  Đạo hàm:

1 log ln

log ln

a

a

y x y x a u y u y u a

.

Đặc biệt:

1 (ln )

(ln )

x x

u u u

.

 Sự biến thiên: loga y x

Nếu 1 a : hàm đồng biến

trên (0; ). Nếu 0 1 a :

hàm nghịch biến trên (0; )

ĐỒ THỊ HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT

ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT

 Ta thấy: 0 1; 0 1 x x a a b b .

 Ta thấy: 1; 1. x x c c d d

 So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên

từ trái sang phải, trúng x a trước nên a b.  So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên

từ trái sang phải, trúng xc trước nên . c d  Vậy 0 1 . b a d c

 Ta thấy: log 0 1; log 0 1 a b x a x b .

 Ta thấy: log 1; log 1. c d x c x d

 So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên

từ phải sang trái, trúng logb x trước: . b a

 So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên

từ phải sang trái, trúng logd x trước: . d c

 Vậy 0 1 a b c d.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Phương trình mũ Phương trình Logarit

 Dạng cơ bản: ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x   

 Dạng cơ bản:

log ( ) log g( ) ( ) ( ) 0 a a f x x f x g x    

 Dạng logarit hóa:

( )

( ) ( )

( ) log

( ) ( ).log

f x

a

f x g x

a

a b f x b

a b f x g x b

  

  

 Dạng mũ hóa: log ( ) ( ) b a f x b f x a   

(không cần điều kiện)

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Bất Phương trình mũ Bất Phương trình Logarit

 Dạng cơ bản:

1 ( ) ( )

0 1 ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

a f x g x

a f x g x

a a f x g x

a a f x g x



    

   

 Dạng cơ bản:

1

0 1 log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0

log ( ) log ( ) 0 ( ) ( )

a

a a

a

a a

f x g x f x g x



     

    

CÔNG THỨC ĐẠO HÀM

 0 k Với k là hằng số



1 ( ) x x     

1 ( ) . u u u        

  

1 2 x

x 

  2

u u

u

   

 2 1 1 x x

      

2 1 u u u

         

 

x x e e 

 . u u e e u    

   ln x x a a a 

  .ln . u u a a a u    

   sin cos x x 

  sin cos u u u    

   cos sin x x 

  cos sin u u u    