Phân tích sai lầm khi học chương khảo sát hàm số - Trần Trường Sinh

Phân tích sai lầm khi học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số"...

Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót 1

I. Cơ sở lý luận

1. Nội dung chương trình (chương I - giải tích 12 - Ban cơ bản)

Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm

vi nghiên cứu của đề tài)

1.1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:

 Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc K,

x1 < x2  f(x1) < f(x2).

 Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc K,

x1 < x2  f(x1) > f(x2).

1.2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến:

 Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì

tổng f(x) + g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất này

nói chung không đúng với hiệu f(x) - g(x).

 Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịch biến)

trên D thì tích f(x)g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất

này nói chung không đúng với tích f(x)g(x) khi f(x) và g(x) là hai hàm số không cùng

dương trên D.

1.3. Công thức tính đạo hàm:

Hàm số hợp  y u có đạo hàm y ' = 1 . . ' u u   (*)

 công thức (*) chỉ đúng với số mũ  là hằng số.

 Nếu  không nguyên thì công thức (*) chỉ đúng khi u nhận giá trị dương.

1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí sau:

 Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng K.

(Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

a. Nếu f '(x) > 0 với x K  thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b. Nếu f '(x) < 0 với x K  thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

c. Nếu f '(x) = 0 với x K  thì hàm số f(x) không đổi trên K.

 Quy tắc 1 để xét tính đơn điệu của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải

điều kiện cần.

1.5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:

Phân tích sai lầm khi học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số"...

Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót 2

 Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = 0 0 ( ; ) x h x h   và

có đạo hàm trên K hoặc trên   0 \ K x , với h > 0.

a. Nếu f '(x) > 0 trên khoảng  0 0 ( ; ) x h x và f '(x) < 0 trên khoảng  0 0 ( ; ) x x h

thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

b. Nếu f '(x) < 0 trên khoảng  0 0 ( ; ) x h x và f '(x) > 0 trên khoảng  0 0 ( ; ) x x h

thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

 Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng

  0 0 ( ; ) x h x h , với h > 0. Khi đó:

a. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu

b. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.

 Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải

điều kiện cần. Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng.

1.6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D:

0 0

( ) ,

: ( ) min ( ) D

f x m x D

x D f x m m f x         ,

0 0

( ) ,

: ( ) max ( ) D

f x M x D M x D f x M f x        

 Nếu   ( ) , f x m x D (hay   ( ) , f x M x D ) nhưng không

   0 0 : ( ) x D f x m (hay    0 0 : ( ) x D f x M ) thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó, không

tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D.

 Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D mà

chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với phép đặt

t = u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương.

1.7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x):

 Tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0)  (C) có phương trình: y = f '(x0).(x - x0) + y0.

 Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, đi qua điểm M1(x1;y1) có phương trình:

y = k.(x - x1) + y1. Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ: 

 

   

1 1 ( ) ( ) '( ) f x k x x y f x k (*,*)

 Nếu điểm M1(x1;y1) nói trên thuộc (C) thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ (*,*).

Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến.