Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan - Nguyễn Thanh Tùng

Nguyễn Thanh Tùng 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3

1

CHUYÊN ĐỀ

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Mục Lục Đề mục Trang

A. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ……………………………………….

B. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN…………………………………………………

Bài toán 1: Các bài toán liên quan tới phương trình tiếp tuyến…………………………………….. 2

Bài toán 1.1………………………………………………………………………………………….. 2

Bài toán 1.2………………………………………………………………………………………….. 10

Bài toán 2: Các bài toán liên quan tới cực trị………………………………………………………… 15

Bài toán 2.1………………………………………………………………………………………….. 15

Bài toán 2.2………………………………………………………………………………………….. 19

Bài toán 2.3………………………………………………………………………………………….. 26

Bài toán 3: Bài toán giao điểm………………………………………………………………………… 28

Bài toán 3.1………………………………………………………………………………………….. 28

Bài toán 3.2………………………………………………………………………………………….. 41

Bài toán 3.3………………………………………………………………………………………….. 44

Bài toán 4: Bài toán tìm điểm…………………………………………………………………………. 49

Bài toán 5: Các bài toán về tính đơn điệu của hàm số……………………………………………….. 52

Bài toán 5.1………………………………………………………………………………………….. 52

Bài toán 5.2………………………………………………………………………………………….. 53

Nguyễn Thanh Tùng 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3

2

CHUYÊN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

A. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

B. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Bài toán 1: Các bài toán liên quan tới phương trình tiếp tuyến

Cơ sở lí thuyết:

* Cho hàm số ( ) y f x  có đồ thị (C), phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm 0 0 0 ( , ) ( ) M x y C  là :

0 0 0 '( )( ) y f x x x y    (*) ( 0 M gọi là tiếp điểm).

* Hai đồ thị hàm số ( ) y f x  và ( ) y g x  tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm :

( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

f x g x

    

(2*)

Nghiệm của (2*) là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị.

Nhận xét : Với kiến thức cơ bản trên, giúp ta giải quyết hai lớp câu hỏi liên quan tới việc viết phương trình

tiếp tuyến (tại điểm và đi qua điểm). Cụ thể :

+) Với câu hỏi tại điểm, để viết được phương trình (*) ta cần 3 yếu tố 0 0 , x y và 0 '( ) f x . Ứng với điều này sẽ có

3 cách ra đề : cho biết 0x , cho biết 0y hoặc cho biết 0 '( ) f x dưới các cách phát biểu khác nhau, và điều này sẽ

được diễn đạt thông qua Bài toán 1.1.

+) Với câu hỏi đi qua điểm sẽ được phát biểu qua Bài toán 1.2 .

Bài toán 1.1

Nội dung bài toán :

Cho hàm số ( ) y f x  có đồ thị là ( ) C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C :

1. Tại điểm có hoành độ là a . 2. Tại điểm có tung độ là b .

3. Có hệ số góc là k . 4. Song song với đường thẳng y ax b   .

5. Vuông góc với đường thẳng y ax b   . 6. Tạo với trục hoành (Ox ) một góc bằng .

7. Cắt các trục , Ox Oy lần lượt tại hai điểm , A B sao cho OB kOA  .

Nguyễn Thanh Tùng 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3

3

Cách giải chung:

Gọi 0 0 0 ( ; ) M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại 0 0 0 ( ; ) M x y có dạng:

0 0 0 '( )( ) y f x x x y    (*)

1. Với

0 0

0

'( ) '( )

( )

f x f a x a y f a

     

, thay vào (*) ta được phương trình cần lập.

2. Với 0 0 ( ) y b f x b    (2) . Giải phương trình (2) tìm 0x và suy ra 0 '( ) f x . Sau đó thay các thông số tìm

được vào (*) ta được phương trình cần lập.

3. Tiếp tuyến có hệ số góc k , suy ra 0 '( ) f x k  (3). Giải phương trình (3) tìm 0x và suy ra 0y . Sau đó thay vào

(*) ta được phương trình cần lập.

4. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax b   , suy ra 0 '( ) f x a  (4).

Giải phương trình (4) tìm được 0x và suy ra 0y . Sau đó thay vào (*) ta được phương trình (kiểm tra lại tính

song song) và kết luận.

5. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y ax b   , suy ra 0

1 '( ) f x a  (5).

Giải phương trình (5) tìm được 0x và suy ra 0y . Sau đó thay vào (*) ta được phương trình cần lập.

6. Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc , suy ra 0 '( ) tan f x   (6).

Giải phương trình (6) tìm được 0x và suy ra 0y . Sau đó thay vào (*) ta được phương …