Chuyên đề khảo sát hàm số - Nguyễn Phú Khánh

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.

5

Chương 1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa : Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên K được gọi là

• Đồng biến trên K nếu với mọi ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , x x K x x f x f x ∈ < ⇒ < ;

• Nghịch biến trên K nếu với mọi ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , x x K x x f x f x ∈ < ⇒ > .

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

• Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì ( ) ' 0 f x ≥ với mọi x I ∈ ;

• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì ( ) ' 0 f x ≤ với mọi x I ∈ .

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) .Khi đó :

• Nếu ( ) ' 0 f x > với mọi x I ∈ thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ;

• Nếu ( ) ' 0 f x < với mọi x I ∈ thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I ;

• Nếu ( ) ' 0 f x = với mọi x I ∈ thì hàm số f không đổi trên khoảng I .

Chú ý :

• Nếu hàm số f liên tục trên ; a b    và có đạo hàm ( ) ' 0 f x > trên khoảng

( ) ; a b thì hàm số f đồng biến trên ; a b    .

• Nếu hàm số f liên tục trên ; a b    và có đạo hàm ( ) ' 0 f x < trên khoảng

( ) ; a b thì hàm số f nghịch biến trên ; a b    .

• Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn ; a b    .

* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng ( ) ; a b thì nó đồng biến trên đoạn

; a b    .

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.

6

* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng ( ) ; a b thì nó nghịch biến trên đoạn

; a b    .

* Nếu hàm số f không đổi trên khoảng ( ) ; a b thì không đổi trên đoạn ; a b    .

4. Định lý mở rộng Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I .

• Nếu '( ) 0 f x ≥ với x I ∀∈ và '( ) 0 f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ; • Nếu '( ) 0 f x ≤ với x I ∀∈ và '( ) 0 f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I . 1.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số .

Xét chiều biến thiên của hàm số ( ) y f x = ta thực hiện các bước sau:

• Tìm tập xác định D của hàm số .

• Tính đạo hàm ( ) ' ' y f x = .

• Tìm các giá trị của x thuộc D để ( ) ' 0 f x = hoặc ( ) ' f x không xác định

( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số ).

• Xét dấu ( ) ' ' y f x = trên từng khoảng x thuộc D .

• Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của hàm số. Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

2 1. 1 x y x + = −

2 2 1 2. 2 x x y x − + − = +

Giải: 2 1. 1 x y x + = −

* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( ) ;1 1; −∞ ∪ +∞.

* Ta có: ( )

2 3 ' 0, 1 1 y x x - = < ∀ ≠ −

* Bảng biến thiên: x −∞ 1 +∞ ' y − −

y

1 −∞

+∞ 1

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.

7

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ) ;1 −∞ và ( ) 1;+∞.

2 2 1 2. 2 x x y x − + − = +

* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( ) ; 2 2; −∞− ∪− +∞.

* Ta có: ( )

2

2 4 5 ' , 2 2

x x y x x − − + = ∀ ≠− +

5 ' 0 1

x y x  = − = ⇔ = 

* Bảng biến thiên : x −∞ 5 − 2 − 1 +∞ ' y − 0 + + 0 −

y

+∞ +∞

−∞ −∞ Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) 5; 2 − − và ( ) 2;1 − , nghịch biến trên các

khoảng ( ) ; 5 −∞− và ( ) 1;+∞.

Nhận xét:

* Đối với hàm số ( . 0) ax b y a c cx d + = ≠ + luôn đồng biến hoặc luôn nghịch

biến trên từng khoảng xác định của nó.

* Đối với hàm số

2

' ' ax bx c y a x b + + = + luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu.

* Cả hai dạng hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên ℝ. Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

2 1 1. 1 x y x − = +

2 4 3 2. 2 x x y x + + = +

1 3.

3

x y

x

+ =

2

3 4.

1 x y

x =

+

2

2

4 3 5.

2 2 4 x x y

x x − + =

− −

2

2

2 2 6.

2 1 x x y

x x + + =

+ +

Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

3 2 1. …