Chuyên đề khảo sát hàm số - Lưu Huy Thưởng

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014

KHẢO SÁT HÀM SỐ

BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG

HÀ NỘI, 8/2013

HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………

LỚP :………………………………………………………………….

TRƯỜNG :…………………………………………………………………

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1

CHUYÊN ĐỀ:

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Đinh nghĩa:

Hàm số f đồng biến trên 1 2 1 2 1 2 ( , , ( ) ( )) K x x K x x f x f x ⇔∀ ∈ < ⇒ <

Hàm số f nghịch biến trên 1 2 1 2 1 2 ( , , ( ) ( )) K x x K x x f x f x ⇔∀ ∈ < ⇒ >

2. Điều kiện cần:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì '( ) 0, f x x I ≥ ∀ ∈

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì '( ) 0, f x x I ≤ ∀ ∈

3.Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu '( ) 0, f x x I ≥ ∀ ∈ ( '( ) 0 f x = tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.

b) Nếu '( ) 0, f x x I ≤ ∀ ∈ ( '( ) 0 f x = tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.

c) Nếu '( ) 0, f x x I = ∀ ∈ , ∀x ∈ I thì f không đổi trên I.

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.

Dạng toán 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp: Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số.

– Tính y′. Tìm các điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)

– Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài tập cơ bản

HT 1. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

1) 3 2 2 2 y x x x = − + − 2) 2 (4 )( 1) y x x = − − 3) 3 2 3 4 1 y x x x = − + −

4) 4 2 1 2 1 4 y x x = − − 5) 4 2 2 3 y x x = − − + 6) 4 2 1 1 2 10 10 y x x = + −

7) 2 1 5 x y x

− = +

8) 1 2 x y x − = − 9) 1 1 1 y x = −−

10) 3 2 2 y x x = + + − 11) 2 1 3 y x x = − − − 12) 2 2 y x x = −

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2

Dạng toán2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số ( , ) y f x m = , m là tham số, có tập xác định D.

• Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y′≥ 0, ∀x ∈ D.

• Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y′≤ 0, ∀x ∈ D.

Từ đó suy ra điều kiện của m.

Chú ý:

1) y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

2) Nếu 2 ' y ax bx c = + + thì:

•

0

0 ' 0, 0

0

a b

c y x R a

= = ≥  ≥ ∀ ∈ ⇔> ∆≤ 

•

0

0 ' 0, 0

0

a b

c y x R a

= = ≤  ≤ ∀ ∈ ⇔< ∆≤ 

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2 ( ) g x ax bx c = + + :

• Nếu ∆< 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

• Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 2

b

a − )

• Nếu ∆> 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

4) So sánh các nghiệm 1 2 , x x của tam thức bậc hai 2 ( ) g x ax bx c = + + với số 0:

• 1 2

0

0 0

0

x x P

S

∆>  < < ⇔ >  < 

• 1 2

0

0 0

0

x x P

S

∆>  < < ⇔ >  > 

• 1 2 0 0 x x P < < ⇔ <

5) Để hàm số 3 2 y ax bx cx d = + + + có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) 1 2 ( ; ) x x bằng d thì ta thực hiện các bước

sau:

• Tính y′.

• Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

0

0

a ≠ ∆> 

(1)

• Biến đổi 1 2 x x d − = thành 2 2 1 2 1 2 ( ) 4 x x x x d + − = (2)

• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.

• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Bài tập cơ bản

HT 2. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó:

1) 3 2 3 ( 2) y x mx m x m = − + + − 2)

3 2

2 1 3 2 x mx y x = − − +

3) x m y x m + = − 4) 4 mx y x m + = +

HT 3. Tìm m để hàm số:

1) 3 2 3 y x x mx m = + + + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.

2) 3 2 1 1 2 3 1 3 2 y x mx mx m = − + − + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.