Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của hàm nhiều biến - Trần Phương

Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

1

BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Bài toán chung: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số ( ) f x

Bước 1: Dự ñoán và chứng minh ( ) ( ) ; f x c f x c ≥ ≤

Bước 2: Chỉ ra 1 ñiều kiện ñủ ñể ( ) f x c =

2. Các phương pháp thường sử dụng

Phương pháp 1: Biến ñổi thành tổng các bình phương

Phương pháp 2: Tam thức bậc hai.

Phương pháp 3: Sử dụng bất ñẳng thức cổ ñiển: Côsi; Bunhiacôpski

Phương pháp 4: Sử dụng ñạo hàm.

Phương pháp 5: Sử dụng ñổi biến lượng giác.

Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp véctơ và hệ tọa ñộ

Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học và hệ tọa ñộ.

II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x, y) = x2 + 11y2 − 6xy + 8x − 28y + 21

Giải. Biến ñổi biểu thức dưới dạng P(x, y) = (x − 3y + 4)2 + 2(y − 1)2 + 3 ≥ 3

Từ ñó suy ra MinP(x, y) = 3 ⇔ 1 0 1

3 4 0 1

y y

x y x

−= =   ⇔   − + = = −  

Bài 2. Cho x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: S =

4 2 4 2

4 4 2 2 y y y x x x y x y x y x + − − + +

Giải.

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 1 1 2 y y y x x x S y x y x y x

    = − + − − + + + +        

S

2 2 2 2 2

2 2 1 1 2 2 y y y x x x y x y x y x

        = − + − + − + + − +                

S

2 2 2 2 2 2

2 2 ( ) 1 1 2 2 y y x y x x y x xy y x

  −     = − + − + − + + ≥             .

Với x = y > 0 thì MinS = 2

Chương I. Hàm số – Trần Phương

2

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 2 sin sin sin ( ) S x y x y = + + +

Giải . 2 2 2 sin sin sin ( ) S x y x y = + + + = 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos ( ) 2 2

y x x y − − + + − +

S 2 2 9 1 2 cos( )cos( ) cos ( ) cos( )cos( ) cos ( ) 4 4 x y x y x y x y x y x y   = − + − − + = − + + − + +    

S

2 2 9 9 1 1 cos( ) cos( ) sin ( ) 4 2 4 4 x y x y x y   = − − + + − − ≤     .

Với 3 x y k π = = + π, (k∈Z) thì 9 Max 4 S =

Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2 1 2 3 8 1 2 2 3 6 7 7 8 8 ... ( ... ) S x x x x x x x x x x x x x = + + + + − + + + + +

Giải.

2 2 2 2

1 2 2 3 3 4 4 5 1 3 2 4 3 5 4 2 4 3 6 4 8 5 S x x x x x x x x         = − + − + − + − +                

2 2 2 2

5 6 6 7 7 8 8 6 5 7 6 8 7 9 8 4 4 10 6 12 7 14 8 16 9 9 9 x x x x x x x         + − + − + − + − − ≥−                

Với 1 2 2 3 6 7 7 8 8 1 2 6 7 8 ; ;...; ; ; 2 3 7 8 9 x x x x x x x x x = = = = = , thì 4 Min

9 S = −

Bài 5. Cho , , x y z∈ℝ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S = 19x2+ 54y2 +16z2 −16xz − 24y +36xy

Giải. Biến ñổi S ⇔ f(x) = 19x2 − 2(8z −18y)x + 54y2 +16z2 − 24y

Ta có ∆′x = g(y) = (8z −18y)2 − (54y2 +16z2 − 24y) = −702y2 +168zy − 240z2

⇒ ∆′y = (84z)2 − 702.240z2 = −161424z2 ≤ 0 ∀z∈R ⇒ g(y) ≤ 0 ∀y, z∈R

Suy ra ∆′x ≤ 0 ∀y, z∈R ⇒ f(x) ≥ 0. Với 0 x y z = = = thì 0 MinS =

Bài 6. Cho x2 + xy + y2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

S = x2 − xy + y2

Giải Xét y = 0 ⇒ x2 = 3 ⇒ S = 3 là 1 giá trị của hàm số.

Xét y ≠ 0, khi ñó biến ñổi biểu thức dưới dạng sau ñây

( )

2 2 2 2

2 2 2 2 / ( / ) 1 1 3 ( / ) ( / ) 1 1

x y x y x xy y S t t u u x xy y x y x y t t

− + − + −+ = = = = = + + + + + + với x t y =