Chuyên đề khảo sát hàm số - Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn

TTLT ĐH VĨNH VIỄN

3

 Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ

 Vấn đề 1: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1/ Một số dạng vô định thường gặp: 0

0 ; 

; ; .0  .

Chú ý: Các trường hợp sau không phải là dạng vô định (+) + (+) = +  (+) – (–) = +  (–) + (–) = –

 a (a 0) 0    a 0 (a 0)     a. (a 0)  

2/ Khử dạng vô định  Hàm số có chứa căn: Nhân và chia với biếu thức liên hợp.  Hàm số có chứa lượng giác: Biến đổi để sử dụng ba giới hạn quen thuộc

x 0

sinx lim 1 x   ,

x 0

tanx lim 1 x   , 2 x 0

1 cosx 1 lim 2 x 

 

 Dạng vô định 0

0 khi x  a: Phân tích tử số và mẫu số để có (x – a) làm

nhân tử chung.

 Dạng vô định 

: Đặt số hạng bậc cao nhất của tử số và mẫu số làm thừa

số chung.

 Dạng vô định , .0  : Biến đổi đưa về dạng 0

0 hoặc 

.

B. ĐỀ THI

Bài 1:

Tìm giới hạn

3

x 0

x 1 x 1 I lim x 

    .

Giải

Giới hạn I có dạng vô định 0

0 .

Ta có:

3

x 0

x 1 1 1 x 1 I lim x 

    =

3

x 0

x 1 1 x 1 1 lim + x x 

          

     1 x 0 x 0

x 1 1 x 1 1 x 1 1 I lim lim x x x 1 1  

       

 

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

4

  x 0 x 0 x 1 1 1 1 lim lim 2 x 1 1 x x 1 1          

   

   

               

         

2 3 3 3 3

2 x 0 x 0 2 3 3

x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 1 I lim lim x x x 1 x 1 1

   

2 x 0 x 0 2 3 3 3 3

1 x 1 1 1 lim lim 3 x 1 x 1 1 x x 1 x 1 1                   

Vậy I = I1 + I2 = 1 1 5 2 3 6   .

Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ 1

Tìm giới hạn I =

3 2 2

x 0

3x 1 2x 1 lim 1 cosx 

    .

Giải

Giới hạn I có dạng vô định 0

0 .

Ta có   

 

                   

3 2 2 3 2 2

x 0 x 0 2 2 2

3x 1 1 2x 1 1 3x 1 1 2x 1 1 I lim lim x x x 2sin 2sin 2sin 2 2 2

 



    

                 

                        

3 2 2

1 2 x 0 x 0 2 3 3 2 2 2

2

2 x 0 3 3 2 2

3x 1 1 3x 1 1 I lim lim x x 2sin 2sin 3x 1 3x 1 1 2 2

x 1 6 2 lim .6 2 x 3 sin 3x 1 3x 1 1 2



 

                         

2

2

2 x 0 x 0 2 2 2

x 2x 1 4 2 I lim lim 4 2 x x 2 2x 1 1 2sin 2x 1 1 sin 2 2

.

Vậy I = I1 + I2 = 4. Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ 2

Tìm giới hạn L =

  

 



6

2 x 1

x 6x 5 lim

x 1

.

TTLT ĐH VĨNH VIỄN

5

Giải

Giới hạn L có dạng vô định 0

0 .

Ta có L =

 

  

   

          

5 4 3 2 6

2 2 x 1 x 1

x 1 x x x x x 5 x 6x 5 lim lim x 1 x 1

=

  

  

    



2 4 3 2

2 x 1

x 1 x 2x 3x 4x 5 lim

x 1

=         4 3 2

x 1 lim x 2x 3x 4x 5 15 .

 Vấn đề 2: TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1/ Định nghĩa: Hàm số f xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) K và x1, x2  K.  Hàm số f gọi là đồng biến trên K nếu x1 < x2  f(x1) < f(x2).  Hàm số f gọi là nghịch biến trên K nếu x1 < x2  f(x1) > f(x2). Định nghĩa này kết hợp với định lý dưới đây được sử dụng để chứng minh một bất đẳng thức. 2/ Định lí: Hàm số f có đạo hàm trên khoảng K.  Nếu f'(x) > 0, x  K thì hàm số f đồng biến trên K.  Nếu f'(x) < 0, x  K thì hàm số f nghịch biến trên K. Định lý này thường được ứng dụng cho các dạng toán sau: Dạng 1: Tìm tham số để hàm số luôn đồng biến (hoặc nghịch biến). Thường sử dụng dấu của tam thức bậc hai P(x) = ax2 + bx + c (a  0)

* P(x)  0, x            

0 a b 0 hay a 0 c 0 .

* P(x)  0, x            

0 a b 0 hay a 0 c 0 .

Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b). Hàm số y = f(x, m) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b)  y'  0 (hoặc y'  0), x(a; b) và dấu "=" xảy ra ở hữu hạn điểm (*) Thông thường điều kiện (*) biến đổi được về một trong hai dạng: (*) h(m)  g(x), x(a; b)  h(m) 

  a; b maxg(x)