Các dạng bài tập VDC lũy thừa và hàm số lũy thừa

BÀI 1. LŨY THỪA

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I. Khái niệm lũy thừa 1. Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n là một số nguyên dương, a là một số thực tùy ý. Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a .

1

thöøa soá . ... ; n

n a a a a a a a = = 

Trong biểu thức na , a được gọi là cơ số, số nguyên n là số mũ Với 0 a ¹ , 0 n = hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của số a là số na xác định

bởi: 0 1 1; n n a a a

- = = .

Chú ý: Kí hiệu 0 0 , 0n ( n nguyên âm) không có nghĩa.

Với 0 a ¹ và n nguyên, ta có 1 n n a a- =

2. Phương trình nx b  a) Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất b) Trường hợp n chẵn  Với 0 b  , phương trình vô nghiệm

 Với 0 b  , phương trình có một nghiệm 0 x 

 Với 0 b  , phương trình có hai nghiệm đối nhau 3. Căn bậc n a)Khái niệm: Với n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho nb a = . Ta thừa nhận hai khẳng định sau: Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Căn đó được kí hiệu là n a

Khi n là số chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau là n a ( còn gọi là căn bậc số học của a ) và n a - . b) Tính chất căn bậc n: Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:

. n n n ab a b = ; ( 0)

n n n a a b b b = > ;

( ) ( 0) p n p n a a a = > ; m n mn a a =

Nếu ( 0) n m p q p q thì a a a n m = = > ; Đặc biệt mn m n a a =

   

,

,

n n a nle a a nchan

  

4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a dương và r là một số hữu tỉ. Giả sử m r n = , trong đó m là một số nguyên, còn n là

một số nguyên dương. Khi đó, lũy thừa của a với số mũ r là số ra xác định bởi

m n r m n a a a = = . 4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: ( SGK)

II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC Cho ,a b là những số dương; , 

. a a a       ; a a b



     ;   a a     ; a a b b

 

      

Nếu 1 a thì a a       

Nếu 1 a thì a a       

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Các phép toán biến đổi lũy thừa

1. Phương pháp:

Ta cần nắm các công thức biến đổi lũy thừa sau:

 Với   a 0;b 0 và  , ta có

                        

. a a a a .a a ; a ; (a ) a ; (ab) a .b ; b a b

 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:

 n n n ab a. b ;   n n n a a (b 0) b b ;     p n p n a a (a 0) ;

 m n mn a a

   n m p q p q Neáu thì a a (a 0) n m ; Đặc biệt mn m n a a

Công thức đặc biệt



x

x a f x a a   thì    1 1. f x f x   

Thật vậy, ta có:

  1 .

x

x

x

a a a f x a a a a a a

       1 x a f x a a    

Nên:    1 1. f x f x   

2. Bài tập

Bài tập 1. Viết biểu thức

3

0,75 2 4 16 về dạng lũy thừa 2m ta được ? m .

A. 13 6  . B. 13 6 . C. 5 6 . D. 5 6  .

Hướng dẫn giải Chọn A

 

5 13 6 2 3 6 6 3 0,75 3 4 4

2 4 2. 2 2 2 16 2 2

    .

Bài tập 2. Cho 0 x  ; 0 y  . Viết biểu thức

4 5 6 5. x x x về dạng m x và biểu thức

4 5 6 5 : y y y về

dạng ny . Ta có ? m n  

A. 11 6  B. 11 6 C. 8 5 D. 8 5 

Hướng dẫn giải Chọn B

4 4 5 103 1 5 6 5 5 6 60 12 103 . . . 60 x x x x x x x m    

4 4 5 7 1 5 6 5 5 6 60 12 7 : : . 60 y y y y y y y n           

11 6 m n   

Bài tập 3. Biết 4 4 23 x x    tính giá trị của biểu thức 2 2 x x P    :

A. 5. B. 27. C. 23. D. 25. Hướng dẫn giải Chọn A

Do 2 2 0, x x x   

Nên  

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 23 2 5 x x x x x x x x                 .

Bài tập 4. Biểu thức thu gọn của biểu thức   1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

2 2 1 ,( 0, 1), 1 2 1

a a a P a a a a a a

                   có

dạng m P a n    Khi đó biểu thức liên hệ giữa m và n là:

A. 3 1 m n  . B. 2 m n  . C. 0 m n   . D. 2 5 m n  . Hướng dẫn giải Chọn D

 

    

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2 2

2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1

a a a a a a P a a a a a a a a

                                 

2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 a a a a a a a a a

                  

Do đó 2; 1 m n  .