Chuyên đề trắc nghiệm ứng dụng tích phân tính thể tích

CHỦ ĐỀ 13: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH

1) Tính thể tích vật thể

Cắt một vật thể ( ) H bởi hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q vuông góc với trục Ox lần lượt tại

( ) ; . x a x b a b = =  Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại điểm x ( a x b   ) cắt ( ) H theo thiết

diện là ( ) S x (hình vẽ). Giả sử ( ) S x liên tục trên đoạn   ; . a b

Khi đó thể tích V của vật thể ( ) H giới hạn bởi hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q được tính bởi công thức:

( ) . b

a V S x dx =

2) Tính thể tích vật tròn xoay sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox

Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

( ) y f x = , trục Ox và hai đường thẳng x a = và

( ) x b a b =  quay quanh trục Ox tạo thành một khối

tròn xoay (hình vẽ). Khi đó ta có thể tích vật thể là:

( )  =

b

a dx x S V

Mặt khác tại điểm x ta có ( ) S x là một hình tròn có

bán kính ( ) R f x =

( ) ( ) 2 2 S x R f x    = = . Vậy ( ) 2 . b

Ox a V f x dx  = 

Trong trường hợp ( ) S x giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

( ) y f x = và ( ) y g x = ta được khối tròn xoay có thể

tích là:

( ) ( ) 2 2 . b

Ox a V f x g x dx  = − 

Chú ý: Khi bài toán không cho hai đường thẳng giới hạn x a = và x b = thì ta giải phương trình

( ) ( ) f x g x = để tìm cận của tích phân, trong đó x a = là nghiệm nhỏ nhất và x b = là nghiệm lớn nhất

của phương trình.

3) Tính thể tích vật tròn xoay sinh bởi diện tích S quay quanh trục Oy

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số ( ) y f x = trục Oy và hai đường thẳng

( ) ( ) ; . y f a y f b = =

- Bước 1: Biến đổi ( ) y f x = về dạng ( ) 1 . x f y =

- Bước 2: Khi đó

( )

( )

( ) 2 1 .

f b

Oy

f a V f y dy  = 

Tương tự: Trong trường hợp Oy V sinh ra bởi diện tích hình phẳng

của hai đồ thị hàm số ( ) ( ) ; y f x y g x = = và hai đường thẳng

; y m y n = = ta có ( ) ( ) 2 2 1 1 .

n

Oy

m V f y g y dy  = − 

Chú ý: Khi quay diện tích hình phẳng S quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích Ox V . Khi quay

quanh trục Oy ta được khối tròn xoay có thể tích . Oy V

Hầu như Ox V không bằng Oy V . Chúng chỉ bằng nhau trong một số trường hợp đặc biệt.

4) Ứng dụng tính thể tích khối cầu, khối chỏm cầu và một số hình đặc biệt

a) Thể tích của khối cầu

Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình:

( ) 2 2 2 : r y x P = + với 0; 0 r y   (hình vẽ). Quay nửa hình tròn đó

quanh trục hoành ta được một mặt cầu có bán kính .r

Thể tích của mặt cầu này là: ( ) 3 4 3 V r đvtt  = .

Thật vậy: Ta có 2 2 2 2 2 x r y r y x −  =  = +

Với 0  y ta có: 2 2 x r y − = có đồ thị là nửa đường tròn phía

trên trục hoành.

Khi đó thể tích khối cầu ( ) ( )

3 2 2 2 2 2 2

0 0 2 2 3

r r r

r

x V r x dx r x dx r x   

−

  = − = − = −      

( )

3 3 3 4 2 3 3 r r r đvtt    = − =    

b) Thể tích khối chỏm cầu

Khi quay hình phẳng tô đậm quanh trục Ox ta được khối 3 chỏm

cầu bán kính r và chiều cao .h

Khi đó: ( ) ( )

2 2 2 2 2 r r

C

r h r h V r x dx r x dx  

− − = − = −  

2

3 2 . 3 3

r

r h

r x h x h r  

−

    = − = −        

c) Thể tích khối nêm (xem hình vẽ)

Đặt

2 2 ; ; tan

tan

h NP R x OP x h MN MPN R MN NP  



 = − = = =  =  = 

( )

R

R V S x dx

− =  trong đó ( ) ( ) 2 2 1 1 . . . 2 2

h S x MN NP R x R = = −

( )

3 2 3 2 2 3 1 1 2 2 2 tan . . 2 2 2 3 3 3

R

R

h h R R h R V R x dx R R R



−

   = − = − = =     

5) Hệ thống Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình phẳng ( ) H giới hạn bởi các đường 2; 0; 2 y x y x = = = . Tính thể tích V của khối tròn

xoay thu được khi quay ( ) H quanh trục . Ox

A. 8. 3 V = B. 32.

5 V = C. 8 .

3 V  = D. 32 . 5 V  =

Lời giải:

Thể tích cần tính là

2 2 5 4

0 0

32 . . 5 5 x V x dx    = = =  Chọn D.

Ví dụ 2: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong 1 2 + = x y , trục hoành và các đường thẳng

0, 1. x x = = Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. 4 .

3 V  = B. 2 . V  = C. 4 . 3 V = D. 2. V =

Lời giải: