Chuyên đề trắc nghiệm phương pháp đổi biến số tính tích phân

CHỦ ĐỀ 8: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH TÍCH PHÂN

1) Định lí: Cho hàm số ( ) f x liên tục trên đoạn [ ] ; . a b Giả sử hàm số ( ) x t ϕ = có đạo hàm liên tục trên

đoạn [ ] ; α β sao cho ( ) ( ) ;a b ϕ α ϕ β = = và ( ) a t b ϕ ≤ ≤ với mọi [ ] ; . t α β ∈

Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ' .

b

a f x dx f t t dt

β

α φ ϕ = ∫ ∫

Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép biến đổi biến số ở dạng sau:

 Cho hàm số ( ) f x liên tục trên đoạn [ ] ; . a b Để tính ( )

b

a f x dx ∫ , đôi khi ta chọn hàm số ( ) u u x = làm

biến số mới, trong đó trên đoạn [ ] ( ) ; , a b u x có đạo hàm liên tục và ( ) [ ] ; . u x α β ∈

 Giả sử có thể viết ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ' , ; , f x g u x u x x a b = ∈ với ( ) g u liên tục trên đoạn[ ] ; . α β

Khi đó, ta có ( ) ( )

( )

( ) .

u b b

a u a f x dx g u du = ∫ ∫

2) Các dạng toán trọng tâm

 Dạng 1: Đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc

 Trong biểu thức của ( ) f x dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t.

 Trong biểu thức của ( ) f x dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t.

 Trong biểu thức của ( ) f x dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức

trên mũ bằng t.

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:

a)

4

0 . 3 2 1 dx I x = + + ∫ b)

ln3

0 . 1 x dx I e = + ∫ c)

9 3

1 . 1 . I x xdx = − ∫ d)

1

2 0

2 . 4 I dx x = − ∫

Lời giải

Chú ý: Đổi biến nhớ phải đổi cận.

a) Đặt 2 2 1 2 1 . t x t x dx tdt = −⇔ = + ⇔ = Đổi cận 0 1. 4 3 x t x t = ⇒=  = ⇒= 

Khi đó ( )

3 3 3

1 1 1

3 2 1 3ln 3 3 3.ln 6 1 3.ln 4 2 3.ln . 3 3 3 t I dt dt t t t t   = = − = − + = − −+ = +   + +   ∫ ∫

b) Đặt 2 2 2 1 1 2 . 1

x x x t t e t e tdt e dx dx dt t = + ⇔ = + ⇔ = ⇔ = −

Đổi cận 0 2 , ln3 2 x t x t

 = ⇒= = ⇒= 

khi đó ( )

2 2

2 2 2

1 2 ln ln3 3 2 2 . 1 1 dt t I t t − = = = − − − + ∫

c) Đặt 3 2 3 1 1 3 . t x t x t dt dx = − ⇔ = − ⇔ = − Đổi cận 1 0

9 2 x t

x t = ⇒=

= ⇒= −

Khi đó ( ) ( ) ( )

2 2 2 7 4 3 2 6 3

0 0 0

468 1 3 3 . 7 4 7 t t I t t t dt t t dt

− − −   − = − − = − = − =     ∫ ∫

d) Đặt [ ] ( ) 2sin 2cos 0; . x t dx tdt t π = ⇒ = ∈ Đổi cận

0 0 . 1 6

x t

x t π = ⇒=  = ⇒= 

Khi đó

6 6 6 3

2 0 0 0 0

4cos 4cos 2 2 . 2cos 3 4 4sin

t t I dt dt dt t t t

π π π π π = = = = = − ∫ ∫ ∫

Ví dụ 2: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho

55

16 ln 2 ln5 ln11 9 dx a b c x x = + + + ∫ với , , a b c là các số hữu tỷ.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng.

A. . a b c − = − B. . a b c + = C. 3 . a b c + = D. 3 . a b c − = −

Lời giải

Đặt 2 9 9 2 . t x t x tdt dx = + ⇒ = + ⇒ = Đổi cận 16 5 55 8 x t x t = ⇒= = ⇒=

Khi đó ( ) ( )( )

8 8 8

2 5 5 5

2 2 2 3 1 5 1 1 2 1 1 ln ln ln ln 2 ln5 ln11 3 3 6 3 3 11 3 4 3 3 3 9 tdt dt t I t t t t t − = = = = − = + − − + + − ∫ ∫

Do đó 2 1 1 ; ;c . 3 3 3 a b a b c = = = − ⇒ − = − Chọn A.

Ví dụ 3: Cho

6

2 ln3 ln 2 2 1 4 1 dx I a b c x x = = + + + + + ∫ với , , a b c là các số hữu tỷ, tính tổng

4 12 . A a b c = + +

A. 2. A = − B. 4. A = − C. 4. A = D. 2. A =

Lời giải

Đặt 2 4 1 4 1 2 . t x t x tdt dx = + ⇒ = + ⇒ = Đổi cận 6 5 2 3 x t x t = ⇒= = ⇒=

Khi đó

5 5 5 5

2 2 2 3 3 3 3

1 1 1 1 3 1 ln 1 ln 2 (t 1) 1 (t 1) 1 2 12 1 2

tdt tdt I dt dt t t t t t

    = = = − = + + = −     + + + +   +     +     ∫ ∫ ∫

1 1 ln3 ln 2 1; 1; 12 12 a b c − = − − ⇒ = = − =

Do đó 4 12 1 4 1 4. A a b c = + + = − −= − Chọn B.

 Dạng 2: Tích phân đổi biến số với hàm ẩn