Chuyên đề trắc nghiệm nguyên hàm của hàm hữu tỉ

CHỦ ĐỀ 5: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ

A. LÝ THUYẾT

I. Các công thức cần nhớ

(1). 1 dx 1 dx ln x a C ln ax b C x a ax b a = + + → = + + + + ∫ ∫

(2). 2 2 dx 1 x a ln C x a 2a x a − = + − + ∫

(3). 2 2 2 2 1 1 x 1 1 u dx arctan C du arctan C x a a a u a a a = + → = + + + ∫ ∫

II. Nguyên hàm dạng ( ) ( )

P x dx I Q x = ∫

Nếu bậc của tử số lớn hơn hoặc của mẫu số thực hiện phép chia đa thức ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P x P' x g x . Q x Q x = + Dưới đây là một số dạng thường gặp.

 Dạng 1: ( ) P x dx I ax b = + ∫

Phân tích: ( ) ( ) P x k g x ax b ax b = + + + khi đó ( ) dx I g x dx k ax b = + + ∫ ∫

 Dạng 2: 2 mx n I dx ax bx c + = + + ∫

 Trường hợp 1: 2 b 4ac 0 ∆= − >

Phân tích: ( )( ) 2 1 2 1 2

mx n mx m 1 A B ax bx c a x x x x a x x x x   + + = = +   + + − − − −  

(Đồng nhất hệ số để tìm A, B).

( ) 1 2 1 I Aln x x Bln x x C. a ⇒= − + − +

 Trường hợp 2: 2 b 4ac 0 ∆= − =

( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 2 2 2 2 0 0 0 0

m x x p mx n mx n m P a.x bx c a x x a x x a x x a x x

− + + + = = = + + + − − − −

 Trường hợp 3: 2 b 4ac 0 ∆= − <

Phân tích: ( )

( )

2 2 2 0

k 2ax b mx n p ax bx c ax bx c a x x q

+ + = + + + + + − +

Khi đó ( )

( )

2

2 2 2 0

kd ax bx c p 1 I dx ax bx c a x x n

+ + = + + + − + ∫ ∫

 Dạng 3: ( ) ( )

P x dx I Q x = ∫ với ( ) 3 2 Q x ax bx cx d = + + +

 Trường hợp 1: ( )( )( ) 3 2 1 2 3 ax bx cx d a x x x x x x + + + = − − −

Phân tích: ( )

3 2 1 2 3

P x A B C ax bx cx d x x x x x x = + + + + + − − −

Trường hợp 2: ( )( ) 2 3 2 1 2 ax bx cx d a x x x x + + + = − −

Phân tích: ( )

( )

2 3 2 1 2

P x A Bx C ax bx cx d x x x x

+ = + + + + − −

 Trường hợp 3: ( )( ) 3 2 2 1 ax bx cx d a x x mx nx p + + + = − + + trong đó 2 mx nx p 0 + + = vô nghiệm.

Phân tích: ( )

3 2 2 1

P x A Bx C ax bx cx d x x mx nx p + = + + + + − + +

 Dạng 4: [Tham khảo và nâng cao]: ( )

4 2 P x dx I x a = ± ∫ trong đó bậc của P(x) nhỏ hơn 4.

Trường hợp 1: ( )

4 2 P x dx I x a = + ∫

Phân tích: ( ) ( ) ( ) 2 2 3

4 2 4 2 A x a B x a Cx Dx P x

x a x a

+ + − + + = + +

Khi đó ta có:

2 2

1 1 2 2 4 2 2 2 2

a a d x 1 x a du x x I dx dx I a x a u 2a a x x 2a x x

  − +   +   = = = → = + +   + − +     ∫ ∫ ∫ ∫

2 2

2 2 2 2 4 2 2 2 2

a a d x 1 x a du x x I dx dx I a x a u 2a a x x 2a x x

  + −   −   = = = → = + −   + + −     ∫ ∫ ∫ ∫

( ) 4 2 3 4 2 3 4 2 4 2 d x a x dx 1 1 I ln x a C x a 4 x a 4

+ = = = + + + + ∫ ∫

( ) 2

4 4 4 2 4 2 2 2 d x xdx 1 1 du I I . x a 2 x a 2 u a = = → = + + + ∫ ∫ ∫

Từ đó suy ra nguyên hàm ( )

4 2 P x dx I x a = + ∫

 Trường hợp 2: ( )

4 2 P x dx I x a = − ∫

Phân tích: ( ) ( ) 3 2

4 2 4 2 Ax Bx Cx D P x

x a x a

+ + + = − −

Khi đó xét: ( ) ( ) 4 2 2 3

1 1 4 2 4 2 4 2 2 2 d x a d x Ax Bx A B A du B dv I dx I x a 4 x a 2 x a 4 u 2 v a

− + = = + → = + − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Phân tích

2

2 4 2 2 2 Cx D M N I dx dx x a x a x a +   = = +   − − +   ∫ ∫ (Đồng nhất tìm M, N).

 Dạng 5 [Tham khảo và nâng cao]: Một số nguyên hàm hữu tỷ khi Q(x) là đa thức bậc 6.

• ( )( ) 1 6 3 3 3 3 dx dx 1 1 1 I x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1   = = = −   − − + − +   ∫ ∫ ∫

• ( )

2

2 2 3 6 3 2 xdx 1 dx 1 du I I x 1 2 2 u 1 x 1 = = → = − − − ∫ ∫ ∫

• ( ) 3 2

3 3 6 6 2 d x x dx 1 1 du I I x 1 3 x 1 3 u 1 = = → = − − − ∫ ∫ ∫

• ( ) 2 2 3

4 4 6 6 3 x d x x dx 1 1 udu I I x 1 2 x 1 2 u 1 = = → = − − − ∫ ∫ ∫

• ( ) ( ) ( )( )

4 2 2 4

5 6 2 4 2 6 2 4 2 x x 1 x 1 2 x dx dx dx dx I dx 2 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1

+ + + − − = = = − − − − + + − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Với ( ) ( ) 2 2 2 2

4 2 4 2 4 2 4 2 x 1 x 1 dx 1 1 x 1 1 x 1 K dx dx dx x x 1 2 x x 1 2 x x 1 2 x x 1

+ − − + − = = = − + + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 1 d x d x 1 1 1 1 1 1 x x x x dx dx 1 1 1 2 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x 3 x x x x

    − + + −         = − = −     + + + + + − − +         ∫ ∫ ∫ ∫

2 2 1 du 1 dv K 2 u 3 2 v 1 → = − + − ∫ ∫

B. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

A. 1 4 I dx 2x 1 = − ∫ B. 2 x 1 I dx x 1 + = − ∫ C. 3 2x 1 I dx 3 4x + = − …