Chuyên đề trắc nghiệm nguyên hàm từng phần

Chủ đề 4: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Cho hai hàm số ( ) u u x = và ( ) v v x = có đạo hàm liên tục trên K ta có công thức nguyên hàm từng

phần: . udv uv vdu = − ∫ ∫

Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng

( ) ( ) . , I f x g x dx = ∫ trong đó ( ) f x và ( ) g x là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm

số lượng giác, hàm số mũ.

Để tính nguyên hàm ( ) ( ) . f x g x dx ∫ từng phần ta làm như sau:

– Bước 1. Đặt ( ) ( ) ( ) ( )

' u f x du f x dx

dv g x dx v G x

= =     ⇒   = =    

(trong đó ( ) G x là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số

( ) g x )

– Bước 2. Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ' . f x g x dx f x G x G x f x dx = − ∫ ∫

Chú ý: Khi ( ) ( ) . I f x g x dx = ∫ và ( ) f x và ( ) g x là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa

thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc đặt .u

Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức)

Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ)

Tức là hàm số nào đứng trước trong câu nói trên ta sẽ đặt u bằng hàm đó. Ví dụ:

• Nếu ( ) f x là hàm log, ( ) g x là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt ( ) ( ) . u f x

dv g x dx

=  = 

• Tương tự nếu ( ) f x là hàm mũ, ( ) g x là hàm đa thức, ta sẽ đặt ( ) ( )

u g x

dv f x dx

=  = 

Một số dạng nguyên hàm từng phần thường gặp.

 Dạng 1: ( ) ( ) ln , I P x mx n dx = + ∫ trong đó ( ) P x là đa thức.

Theo quy tắc ta đặt ( ) ( )

ln . u mx n

dv P x dx

= +  = 

 Dạng 2: ( ) sin , cos x I P x dx x   =     ∫ trong đó ( ) P x là đa thức.

Theo quy tắc ta đặt

( )

. sin cos

u P x

x dv dx x

=     =      

 Dạng 3: ( ) , ax b I P x e dx + = ∫ trong đó ( ) P x là đa thức

Theo quy tắc ta đặt ( ) . ax b u P x

dv a dx + =  = 

 Dạng 4: sin . cos

x x I e dx x   =     ∫

Theo quy tắc ta đặt

sin cos .

x

x u x

dv e dx

   =        = 

B. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) 1 sin I x xdx = ∫ b) 3 2 x I xe dx = ∫ c) 2 3 cos I x xdx = ∫ d) 4 ln I x xdx = ∫

Lời giải:

a) 1 sin I x xdx = ∫

• Cách 1: Đặt sin cos u x du dx xdx dv v x = =   ←→   = = −  

1 sin cos cos cos sin . I x xdx x x xdx x x x C → = = − + = − + + ∫ ∫

• Cách 2: ( ) 1 sin cos cos cos cos sin I x xdx xd x x x xdx x x x C   = = − = − − = − + +   ∫ ∫ ∫

b) 3 2 x I xe dx = ∫

• Cách 1: Đặt 3 3 1 3

x x

du dx u x

v e e dx dv

=  =   ←→  = =  

( ) 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 9 3 9

x x x x x x x I xe dx xe e dx xe e d x xe e C → = = − = − = − + ∫ ∫ ∫

• Cách 2:

( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3

x x x x x x x x I xe dx xd e xe e dx xe e d x xe e C       = = = − = − = − +           ∫ ∫ ∫ ∫

c) 2 3 cos I x xdx = ∫

• Cách 1: Đặt

2 2

sin cos

du xdx u x v x xdx dv

= =  ←→  = =  

Khi đó 2 2 2 3 cos sin 2 sin sin 2 I x xdx x x x xdx x x J = = − = − ∫ ∫

Xét sin . J x xdx = ∫ Đặt

cos cos cos sin cos sin

u x du dx J x x xdx x x x v x xdx dv

= =   → = − + = − +  = − = ←→  ∫

( ) 2 3 sin 2 cos sin . I x x x x x C → = − − + +

• Cách 2: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 cos sin sin sin sin 2 sin I x xdx x d x x x xd x x x x xdx = = = − = − ∫ ∫ ∫ ∫

( ) 2 2 2 sin 2 cos sin 2 cos 2 cos sin 2 cos 2sin . x x xd x x x x x xdx x x x x x C = + = + − = + − + ∫ ∫

d) 4 ln I x xdx = ∫

• Cách 1: Đặt

2 2 2 2

4 2 ln ln ln . ln . 2 2 2 4 2

dx du u x x x dx x x x I x xdx x x C xdx dv x x v

 =  =   ←→ → = = − = − +   =  =  ∫ ∫

• Cách 2: Ta có:

( )

2 2 2 2 2 2 2

4 ln ln ln ln ln ln . 2 2 2 2 2 2 4 x x x x x dx x x I x xdx xd x d x x x C x   = = = − = − = − +     ∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) 2 5 ln I x xdx = ∫ b) ( ) 2 6 ln 1 I x x dx = + ∫

c) ( ) 2 7 ln 1 I x x dx = + + ∫ d) 8 sin x I e xdx = ∫

Lời giải:

a) 2 5 ln I x xdx = ∫

• Cách 1:

Đặt

3 3 3 3 2 5 2 3 ln ln ln . ln . 3 3 3 9 3

dx du u x x x dx x x x I x xdx x C x x dx dv x v

 =  =   ←→ …