Chuyên đề trắc nghiệm phương pháp vi phân tìm nguyên hàm

CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM

I. Vi phân của hàm số

Vi phân của hàm số ( ) y f x = được ký hiệu là dy và cho bởi ( ) ( ) dy df x y dx f x dx ′ ′ = = =

Ví dụ: ( ) ( ) ( ) sin cos sin cos cos sin d x x x x dx x x dx ′ + = + = −

II. Một số công thức vi phân quan trọng

(1). ( ) ( ) 1 1 dx d ax b d b ax a a − = ± = ±

(2). ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 2 xdx d x d ax b d b ax a a = = ± = − ±

(3). ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 1 1 1 3 3 3 x dx d x d ax b d b ax a a − = = ± = ±

(4). ( ) ( ) 1 sin d cosx cos b x d a x a − = − = ±

(5). ( ) ( ) 1 cos sinx sin b xdx d d a x a = = ±

(6). ( ) ( ) 2 1 tan tan cos dx d x d a x b x a = = ±

(7). ( ) ( ) 2 1 cot cot sin dx d x d a x b x a − = − = ±

(8). ( ) ( ) ( ) 1 1 2 dx d x d a x b d b a x a a x − = = ± = ±

(9). ( ) ( ) ( ) 1 1 x x x x e dx d e d ae b d b ae a a − = = ± = ±

(10). ( ) ( ) ( ) 1 1 ln ln ln dx d x d a x b d b a x x a a − = = ± = ±

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm sin cos . sin cos x xdx x x − + ∫

A. 1 . sin cos C x x + + B. 1 . sin cos C x x − + +

C. ln sin cos . x x C + + D. ln sin cos . x x C − + +

Lời giải:

Ta có sin cos cos sin (sin cos ) sin cos sin cos sin cos x x x x x x dx dx dx x x x x x x ′ − − + = − = − + + + ∫ ∫ ∫

( ) d sin cos ln sin cos . sin cos x x x x C x x + = − = − + + + ∫ Chọn D.

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm

( )

2 2 1 . 2

x I dx x x

+ = + ∫

A. 2 1 ln 2 . 2 x x C − + + B. 2 1 . 2 4 C x x − + + C. 2 1 . 2 C x x + + D.

( )

3 2 2 . 2 C x x

− + +

Lời giải:

Ta có:

( ) ( )

( )

( )

2

2 2 2 2 2 2

2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2

d x x x x dx dx x x x x x x

+ + + = = + + + ∫ ∫ ∫

Áp dụng 2 2 1 1 . 2( 2 ) du C I C u u x x − − = + ⇒ = + + ∫ Chọn B.

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm

( )

2 2 3 . 1

xdx I x = + ∫

A. 2 3 1 2 x C + + B. 3 2 3 1 . 2 x C + + C. 3 2 2 1 . 3 x C + + D. ( )

2 2 3 3 1 . 2 x C + +

Lời giải:

Ta có:

( )

( )

( )

( ) ( )

2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3

1 1 1 1 1 2 2 1 1

d x xdx I x d x x x

− + = = = + + + + ∫ ∫ ∫

( )

1 3 2 2 3 1 3 .3. 1 1 . 2 2 x C x C = + + = + + Chọn B.

Ví dụ 4: Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số ( ) 1 sin . cos x f x x x + = −

A. ln 2 2cos . x x − B.ln cos 1. x x − + C. ( ) 2 1 ln cos . 2 x x − D. ( ) 2 ln 2 2cosx . x −

Lời giải:

Ta có: ( ) ( ) ( ) cos cos 1 sin ln cos cos cos cos x x d x x x F x dx dx x x C x x x x x x

′ − − + = = = = − + − − − ∫ ∫

Với ln 2 C = ta được ( ) ln 2 2cos . F x x x = −

Với 1 C = ta được ( ) ln cos 1. F x x x = − +

Với 0 C = ta được ( ) ( )

2 1 ln cos ln cos . 2 F x x x x x = − = −

Đáp án sai là D. Chọn D.

Ví dụ 5: Giả sử ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) cos 4sin 3 x f x x = −

. Biết rằng 1. 2 F π  =    

Tìm ( ) F x .

A. ( ) 1 1 4sin 3 . 2 2 F x x = − + B. ( ) 4sin 3. F x x = −

C. ( ) 1 3 4sin 3 . 2 2 F x x = − − + D. ( ) 4sin 3 2. F x x = − − +

Lời giải:

Ta có: ( ) ( ) ( ) sin 4sin 3 cos 1 4 4sin 3 4sin 3 4sin 3

d x d x xdx F x x x x

− = = = − − − ∫ ∫ ∫

Áp dụng ( ) 1 4sin 3 2 2 du u C F x x C u = + ⇒ = − + ∫

Do ( ) 1 1 1 1 4sin 3 . 2 2 2 2 F C F x x π  = + = ⇒ = − +    

Chọn A.

Ví dụ 6: Giả sử ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( )

2 1

2 3ln f x x x = +

. Biết rằng 1 1. F e  =    

Tìm ( ). F x

A. ( ) 1 4. 9ln 6 3 F x x = + + B. ( ) 1 2. 9ln 6 3 F x x − = + +

C. ( ) 1 2. 3ln 2 F x x = + + D. ( ) 1 . 3ln 2 F x x − = +

Lời giải:

Ta có: ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2 2 2 ln 3ln 2 1 1 3 3 3ln 2 2 3ln 2 3ln 2 3ln

d x d x dx F x C x x x x x

+ − = = = = + + + + + ∫ ∫ ∫

Do ( ) 1 1 2 1 2 1 . 3 3 9ln 6 3 F C C F x e x − −  = + = ⇒ = ⇒ = +   − +  

Chọn B.

Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) sin 1 cos . sin cos x x x x f x x x x + + = +

A. 2 ln sin cos C. x x x x + + + B. ln sin cos . x x x x C + + +

C. ( )

2 sin cos . 2 x x x x C + + + D. sin cos . x x x x + +

Lời giải: