Bất đẳng thức tích phân và một số bài toán liên quan

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Cho các hàm số  y f x  và  y g x  có đạo hàm liên tục trên   ;a b . Khi đó:

 Nếu   f x g x  với mọi   ; x a b  thì  

b b

a a f x dx g x dx    .

 Nếu  0 f x  với mọi   ; x a b  thì  0

b

a f x dx   . Hệ quả:   2 0 0

b

a f x dx f x     .

 Bất đẳng thức Holder (Cauchy – Schwarz):   

2

2 2 b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx          .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   f x kg x  với k .

B. BÀI TẬP

Câu 1: Cho hàm số  y f x  có đạo hàm liên tục trên   0;2 đồng thời thỏa mãn điều kiện  2 2 f  ,



2

0

0 xf x dx   , và 

2 2

0

' 10 f x dx       . Hãy tính tích phân 

2 2

0 I x f x dx  ?

Lời giải

Ta có:    

2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

2 1 1 1 0 ' ' 8 0 2 2 2 f x dx x f x x f x dx x f x dx         .

Cách 1: Kết hợp 

2 2

0

' 10 f x dx       , 

2 2

0

' 8 x f x dx   và

2 4

0

32

5 x dx   ta được:

   

2 1 1 2 2 4 2 2

0 0

5 25 5.8 25 32 5 5 ' ' 10 . 0 ' 0 ' 2 16 2 16 5 4 4 f x x f x x dx f x x dx f x x                              .

Cách 2:  

2 2 2 2 2 2 4

0 0 0

32 64 ' ' 10 64 5 x f x dx x dx f x dx                  . Đẳng thức xảy ra khi: 

2 'f x kx  .

Vì  

2 2 2 4 2

0 0

32 5 5 8 ' ' 5 4 4 x f x dx k x dx k k f x x          .

Khi đó: 

3 5 4 12 3 x f x   vì  1 2 f  . Khi đó thay vào tích phân 

2 2

0

8 9 I x f x dx    .

CHUYÊN ĐỀ

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 2: Cho hàm số  y f x  có đạo hàm liên tục trên   0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện  1 2 f  ,



1

0

1 3 f x dx   , 

1 2

0

25 ' 3 f x dx       . Hãy tính tích phân 

1

0 I xf x dx  ?

Lời giải

Ta có:     

1 1 1 1

0 0 0 0

1 1 5 ' 2 ' ' 0 3 3 f x dx xf x xf x dx xf x dx xf x dx            .

Cách 1: Kết hợp 

1 2

0

25 ' 3 f x dx       , 

1

0

5 ' 3 xf x dx   và

1 2

0

1 3 x dx   ta được:

     

1 1 2 2 2

0 0

25 50 25 ' 10 ' 25 0 ' 5 0 ' 5 3 3 3 f x xf x x dx f x x dx f x x                      .

Cách 2:  

2 1 1 1 2 2

0 0 0

25 1 25 25 ' ' 9 3 3 9 xf x dx x dx f x dx                  . Đẳng thức xảy ra khi:  'f x kx  .

Vì  

1 1 2

0 0

5 1 ' 5 ' 5 3 3 xf x dx k x dx k k f x x          .

Khi đó  

1 1 2 3

0 0

5 1 5 3 2 2 2 2 8 x x x f x I xf x dx dx          .

Câu 3: Cho hàm số  y f x  có đạo hàm liên tục trên 0; 2

π      

đồng thời thỏa mãn 

2 2

0

3

π

f x dx π   ,

 

0

sin 6 2

π x x x f dx π           , và 0 2 π f       . Hãy tính tích phân 

2 3

0

π

I f x dx        ?

Lời giải

Ta có        

2 2

0 0 0 3 sin sin 2 2 sin 2 2 2 2

π π π x x π x x f d x x f x dx x x df x                       

       

2 2 2 2 2

0 0 0

3 3 sin 2 2 2 1 cos2 4 sin sin 2 4 0

π π π π π π x x f x x f x dx xf x dx xf x dx            .

Cách 1: Kết hợp 

2 2

0

3

π

f x dx π   , 

2 2

0

3 sin 4

π

π xf x dx   và

2 4

0

3 sin 16

π

π xdx   ta được:

     

1 1 2 2 2 4 2 2

0 0 8sin 16sin 0 4sin 0 4sin f x xf x x dx f x x dx f x x              

Cách 2:  

2

2 2 2 2 2 2 4 2

0 0 0

9 3 9 sin sin 3 16 16 16

π π π π π π xf x dx xdx f x dx π                  .