Phương pháp tích phân từng phần tạo các lượng triệt tiêu

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

TẠO CÁC LƯỢNG TRIỆT TIÊU

Dự án năm 2019 của nhóm Giáo viên Toán Việt Nam do thầy Lê Tài Thắng phụ trách

Trong quá trình dạy và học về bài toán tích phân, chúng ta có rất nhiều cách tính tích phân như đổi biến, từng phần…Tuy nhiên khi đứng trước một bài toán không phải lúc nào chúng ta cũng thấy luôn điều đó, đặc biệt những bài toán cồng kềnh và hình thức phức tạp. Mặc dù cách xử lý lại hết sức đơn giản, xuất phát từ những thứ rất gần gũi và thân quen mà bản thân chũng ta lại không ngờ đến. Từ thực tế kinh nghiệm giảng dạy cũng như như cầu học tập của các em học sinh, BQT xin đưa ra một hướng làm nhỏ về bài toán tích phân: Phương pháp tích phân từng phần tạo lượng triệt tiêu.

Cở sở của phương pháp chính là sử dụng tích phân đã được học trong chương trình sách giáo khoa và định nghĩa của tích phân.

I. PHƯƠNG PHÁP 1. Phương pháp tích phân từng phần

Tính tích phân ( ) ( ) .

b

a I u x v x dx  = 

Cách tính:

Đặt ( ) ( ) ( ) ( )

u u x du u x dx

dv v x dx v v x

 = =         = =    

Khi đó ( ) . .

b b a a I u v v du = − (công thức tích phân từng phần)

Chú ý:

+ Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân

b

a vdu  dễ tính hơn

b

a udv  .

+ Với ( ) P x là hàm đa thức ta có chú ý trong các trường hợp sau

( ). b x

a P x e dx  ( ).cos b

a P x xdx  ( ).sin b

a P x xdx  ( ). n b

a P x l xdx 

u P(x) P(x) P(x) lnx dv x e dx cos xdx sin xdx P(x)

2. Xét bài toán: Tính tích phân ( )

b

a I f x dx =  , ta có thể giải với một cách như sau:

+ Ta đưa I về dạng ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1

b b b

a a a I f x dx f x dx f x dx = = +   

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

+ Ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính ( ) 1

b

a f x dx  đưa về dạng

( ) ( ) 1 2

b b

a a f x dx A f x dx = −   . Thay vào ( ) 1 ta tính được I A =

Vấn đề là ta lựa chọn việc tách ( ) ( ) ( ) 1 2 f x f x f x = + sao cho việc sử dụng phương pháp tích phân từng

phần để đưa ( ) 1

b

a f x dx  tạo ra tích phân ( ) 2

b

a f x dx − .

II. CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1. Cho 2 1 1 d ln ln ln 2 2

e a x be x x − = −      

với ,a b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 2 a b = . B. 2a b = . C. 4 a b + = . D. 6 a b + = .

Lời giải Chọn A

+ Tính 1 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 d d d ln

e e e x x x I I x x x x       − = − = +               

+ 2 2

1 d ln

e I x x =  theo từng phần, đặt 2 1 1 d d ln .ln d d

u u x x x x v x v x

−   = =   =     = =  

suy ra

2 2

1 d ln

e I x x =  = 1 2 ln

e x I x − = 1 2 ln 2 e I − −

Nên 1 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 d d d ln

e e e x x x I I x x x x       − = − = +                = 2 ln2 e−

Vậy 2; 1 a b = − = −.

Nhận xét: Bài toán đã tách sẵn nên chúng ta chỉ cần tích phân từng phần tích phân thứ nhất để tạo ra lượng là đối của tích phân còn lại.

Câu 2. Cho 2

1

1 ln ln

e ae x e I e x x x c x b   = + = +      d với , , a b c . Tính T a b c = + + .

A. 2 −. B. 2 . C. 4 −. D. 4 . Lời giải Chọn D

Ta có 2 2 2 2

1 1 1

1 1 ln

e e e x x x

M N

I e x x x e x x e x x x x   = + = +        d d d

Lại có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

1 1 1 ln 1 2 2

e e e x x x x e N e x x e x e x x e x

  = = = −        d d d

2 2 2 2 2

1

1 1 ln ln 1 2 2

e x x e e e x e x x e M = − = −  d .

Suy ra 2 2 1 1 2 2

e e I M N M e M e   = + = + − =    

.

Do đó 2, 0 a b c = = = . Vậy 4 T a b c = + + = .