Một số bài toán trong tích phân có vận dụng phương trình hàm

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG TÍCH PHÂN

CÓ VẬN DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Thầy Nguyễn Ngọc Chi

Trường THPT Kinh Môn – Hải Dương

Trong chương trình SGK giải tích lớp 12, các dạng tích phân được tính bằng các tính chất của tích

phân và tính chất của hàm số hay tích phân thông qua giả thiết là các dạng phương trình hàm xuất hiện rất

ít, chính vì vậy khả năng thực hành tính toán của học sinh còn nhiều hạn chế hay chưa nói đến là gặp rất

nhiều khó khăn. Trước đây, trong các kì thi từ thi tốt nghiệp THPT đến các kỳ thi Đại học, Cao đẳng hay

ngay trong quá trình dạy hầu như không xuất hiện các dạng tích phân cho dưới dạng phương trình hàm, vì

vậy sự quan tâm của giáo viên và học sinh về vấn đề này là không có. Từ khi Bộ GD&ĐT chuyển hình

thức thi môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm thì dạng tích phân này đã có trong đề thi đã xuất hiện

và khi dạy học vấn đề này cũng được các thầy cô và các em học sinh quan tâm hơn. Từ những lý do trên

tôi đã mạnh dạn viết bài nhở này để nói về một số bài toán tích phân có sử dụng phương trình hàm và cách

giải của chúng với mục tiêu dẫn dắt học sinh biết vận dụng những kiến thức cơ bản, kết hợp các phương

pháp được tiếp cận từ sách giáo khoa để tạo được một thói quen mới, một phương pháp mới cho dạng toán

Tích phân.

Nội dung chung của các bài toán dạng này là yêu cầu tính tích phân ( )d

b

a f x x nhưng chưa cho biết

hàm số ( ) f x mà chỉ biết ( ) f x thỏa mãn một phương trình hàm cho trước.

Phương pháp chung:

Cách 1: Sử dụng các kiến thức về phương trình hàm để tìm hàm số ( ) f x .

Cách 2: Biểu diễn hàm ( ) f x qua hàm ( ) g x mà ta có thể tính được ( )d

b

a g x x .

Dạng 1. Tích phân liên quan đến biểu thức ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) u x f x u x f x g x

Phương pháp:

Ta có ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) [ ( ). ( )] ( ) u x f x u x f x g x u x f x g x . Suy ra ( ). ( ) ( )d u x f x g x x . Từ đó

tìm được ( ) f x .

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Ví dụ 1. Cho ( ) f x có đạo hàm trên   0;1 thỏa mãn 1 (1) 2018 f =

2018 2018 ( ) . ( ) 2 f x x f x x  + = và với

  0;1 x  .Tính tích phân

1

0 ( ) I f x dx = 

A. 1 2018.2019 I B. 1 2019 I

C. 1 1 2018 2019 I D. 1 I

Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức ( ) u x . Ta có

2018 2018 ln ( ) ln ( ) 2018ln ln ( ) ln u x dx u x x c u x x c x  =  = +  = + 

nên ta chọn

2018 ( ) u x x = , khi đó ta có lời giải như sau:

Lời giải

Ta có   2018 2017 2018 2017 2017 2018 4035 . ( ) 2018 ( ) ( ) 2018 ( ) ( ) . 2 2 x f x x f x x f x x f x xf x x x x        = + = + = =    

Khi đó

4036 2018 4035 2018 ( ) 2 ( ) 2018 x x f x x dx x f x c =  = +  , do 1 1 1 (1) 2018 2018 2018 f c =  = +

0 c  =

4036 2018 2018 ( ) ( ) 2018 2018 x x x f x f x  =  =

khi đó

1 1 1 2018 2019

0 0 0

1 ( ) 2018 2019.2018 2018.2019 x x I f x dx dx   = = = =      

Ví dụ 2. Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1]. Biết

2 ( 1). ( ) ( ) 3 2 x f x f x x x và

(1) 1 f . Tính tích phân

1

0 ( )d I f x x .

A. 4 4 ln2. 3 I B. 3 4 ln2. 4 I

C. 4 4ln2. 3 I D. 4 4ln2. 3 I

Lời giải

Ta có

2 2 ( 1) ( ) ( ) 3 2 [( 1) ( )] 3 2 x f x f x x x x f x x x