Định lý cơ bản của vi tích phân và ứng dụng

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA VI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Thầy Aki Le – ĐH Pôn Pa

Trong bài viết nhỏ này, tôi sẽ trình bày định lý cơ bản của Vi tích phân và đưa ra một số ứng dụng

của nó. Ở đây, tôi chỉ muốn đưa ra một góc nhìn liên quan định lý và không có định hướng đến việc hệ

thống các kết quả theo một trật tự có hệ thống.

1. Định lý cơ bản của Vi tích phân

Để tránh sự phiền hà, trong bài viết này tôi không đưa ra định nghĩa tích phân xác định. Bạn đọc có thể

tham khảo các cách tiếp cận khác nhau trong các giáo trình căn bản về giải tích, chẳng hạn sử dụng

nguyên hàm; sử dụng tổng Riemann; sử dụng tổng Darboux. Trong bài viết này, tôi sẽ sử dụng một số ký

hiệu sau:

( ) x a F x = để thay cho ( ) F a và d d ( ) x F x để thay cho ( ) F x  trong một số trường hợp cần thiết.

Ở đây, ngoài việc thừa nhận định nghĩa tích phân, ta còn thừa nhận một số tính chất của tích phân như:

Với f và g thỏa ( )d , ( )d b b

a a f x x g x x   tồn tại và các số thực , , c d ta có các kết quả bổ trợ

1) d 0, 0 b

a x = 

2) ( ( ) ( ))( )d ( )d ( )d b b b

a a a cf x dg x x x c f x x d g x x + = +    ,

3) ( )d ( ) ( )d a

b

c a

c b f x x f x dx f x x = +    nếu ( ) a

c f x dx  và ( )d b

c f x x  tồn tại.

4) Nếu ( ) ( ) f x g x  với mọi [ ; ] x a b  thì ( )d ( )d . b b

a a f x x g x x   

Các tính chất khác của tích phân nếu được sử dụng sẽ chứng minh lại. Ở đây, ta cũng qui ước:

0 ( d) a

a f x x =  và . ( ) ( ) d d khi b

a

a

b f x x b f x x a = −   

Trong lĩnh vực số học, định lý về sự phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố chính là Định lý cơ

bản của Số học. Trong Đại số, định lý về tồn tại nghiệm (phức) của đa thức bậc lớn hơn bằng một với hệ

số phức chính là định lý cơ bản của Đại số. Tương tự như vậy, trong Giải tích/ Vi tích phân cũng có một

định lý được gọi là Định lý cơ bản của Vi tích phân. Định lý là cầu nối hai vấn đề trung tâm của lĩnh vực

Vi tích phân (đạo hàm và tích phân).

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Định lý (Định lý cơ bản của Vi tích phân)

Cho :[ , ] f a b → là hàm liên tục. Khi đó

i) ( ): ( )d , [ , ] x

a G x f t t x a b =   là một nguyên hàm của hàm f trên [ ; ], a b nghĩa là ( ) ( ) G x f x  = với mọi

[ ; ]. x a b 

ii) Với bất kỳ nguyên hàm F của f trên [ ; ] a b , ta đều có

( )d ( ) : ( ) ( ) (*) b b

a a f x x F x F b F a = = −  .

Chứng minh định lý được bỏ qua vì việc chứng minh tùy thuộc vào định nghĩa của tích phân. Thậm

chí SGK Giải tích 12 đã sử dụng định lý này như định nghĩa của tích phân xác định.

Một số nhận xét:

• Ở đây đạo hàm tại ( ) a b của G có thể hiểu là đạo hàm phải (đạo hàm trái) hoặc định nghĩa dựa

vào sự mở rộng hàm G trên ( ; ) [ ; ]. c d a b 

• Phần thứ nhất, i), của Định lý cơ bản của Vi tích phân có thể viết lại dưới dạng

( ) d ( )d ( ). d

x

a f t t f x x = 

• Phần thứ hai, ii), của Định lý cơ bản của Vi tích phân được biết như công thức Newton- Leibniz

và có thể phát biểu lại: Nếu F có đạo hàm liên tục trên [ ; ] a b thì

( )d ( ) ( ). b

a F t t F b F a  = − 

• “Định lý cơ bản của Vi tích phân” là tên gọi cho một định lý cụ thể chứ không phải là cách chung

chung cho các định lý căn bản của Vi tích phân. Nó có vai trò quan trọng trong việc kết nối hai

khái niệm quan trọng bật nhất của Vi tích phân, đó là đạo hàm và tích phân. Đồng thời định lý cho

ta sự liên hệ giữa tích phân xác định và tích phân bất định.

• Theo phần thứ nhất của Định lý, ta có ( ) ( )d x

a G x f t t =  là một nguyên hàm của f trên [ ; ] a b và

( ) ( )d . b

a G b f t t =  Điều này có vẻ mâu thuẫn với phần thứ hai của Định lý: ( ) ( ) ( )d . b

a G b G a f t t − = 

Tuy nhiên điều này không có điều gì bất ổn. Ta có ( ) ( )d 0. a

a G a f t t = =  Do đó,

( )d ( ) ( ) ( ). b

a f t t G b G a G b = − = 