Bài giảng tích phân và phương pháp tính tích phân

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 2: TÍCH PHÂN

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được định nghĩa và các tính chất của tích phân.

+ Nắm vững các phương pháp tính nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản để áp dụng tính tích

phân.

+ Nắm vững các tính chất tích phân của các hàm số chẵn, hàm số lẻ và các quy tắc đạo hàm của

hàm số hợp.

+ Nắm vững các ý nghĩa vật lí của đạo hàm, từ dó giải quyết các bài toán thực tế sử dụng tích

phân.

 Kĩ năng

+ Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của tích phân để vận dụng vào việc tính tích phân.

+ Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tính tích phân.

+ Vận dụng tích phân vào các bài toán thực tế.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa tích phân

Định nghĩa

Cho hàm số  f x liên tục trên đoạn   ;a b , với . a b 

Nếu  F x là nguyên hàm của hàm số  f x trên đoạn

  ;a b thì giá trị   F b F a  được gọi là tích phân của

hàm số  f x trên đoạn   ;a b .

Kí hiệu    

b b

a a

f x dx F x F b F a     (1)

Công thức (1) còn được gọi là công thức Newton –

Leibnitz; a và b được gọi là cận dưới và cận trên của

tích phân.

Ý nghĩa hình học của tích phân

Giả sử hàm số  y f x  là hàm số liên tục và không âm

trên đoạn   ;a b . Khi đó, tích phân 

b

a

f x dx  chính là

diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong  y f x  ,

trục hoành Ox và hai đường thẳng , , x a x b   với

. a b 



b

a S f x dx 

Chẳng hạn: 

3 F x x C   là một nguyên

hàm của hàm số 

2 3 f x x  nên tích phân

   

1 1

0 0

1 0 f x dx F x F F    

   3 3 1 0 1. C C     

Lưu ý: Giá trị của tích phân không phụ thuộc

vào hằng số C.

Trong tính toán, ta thường chọn 0. C 

Chẳng hạn: Hàm số 

2 2 1 f x x x    có đồ

thị  C và   

2 1 0 f x x    , với x .

Diện tích “tam giác cong” giới hạn bởi  C ,

trục Ox và hai đường thẳng 1 x  và 1 x 

là   

1 1

2

1 1

2 1 S f x dx x x dx

       

3 1 2

1

8. 3 3 x x x



         

Lưu ý: Ta còn gọi hình phẳng trên là “hình

thang cong”.

2. Tính chất cơ bản của tích phân

Cho hàm số  f x và  g x là hai hàm số liên tục trên

khoảng K, trong đó K có thể là khoảng, nửa khoảng

TOANMATH.com Trang 3

hoặc đoạn và , , , a b c K  khi đó:

a. Nếu b a  thì  0

a

a

f x dx  

b. Nếu  f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   ;a b thì

ta có:

   

b b

a a

f x dx f x f b f a     

c. Tính chất tuyến tính

    . . .

b b b

a a a k f x h g x dx k f x dx h g x dx          

Với mọi , . k h

d. Tính chất trung cận

  

b c b

a a c f x dx f x dx f x dx      , với   ; c a b 

e. Đảo cận tích phân

 

a b

b a f x dx f x dx   

f. Nếu  0, f x    ; x a b  thì  0

b

a

f x dx   và

 0

b

a

f x dx   khi  0 f x  .

g. Nếu     , ; f x g x x a b   thì

 

b b

a a f x dx g x dx   

h. Nếu

   ; min

a b m f x  và

   ; max

a b M f x  thì

Chẳng hạn: Cho hàm số  f x liên tục, có

đạo hàm trên đoạn   1;2  thỏa mãn

 1 8 f   và  2 1. f 

Khi đó

    

2 2

1 1

2 1 9 f x dx f x f f  

      

Lưu ý: Từ đó ta cũng có

  

b

a f b f a f x dx   

và   

b

a f a f b f x dx   