Bài giảng nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được định nghĩa nguyên hàm; các tính chất của nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản.

+ Nắm vững các phương pháp tính nguyên hàm.

 Kĩ năng

+ Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của nguyên hàm để vận dụng vào việc tìm nguyên hàm

+ Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm.

+ Vận dụng nguyên hàm vào các bài toán thực tế.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa nguyên hàm Ví dụ: 

3  F x x là một nguyên hàm của hàm

số 

2 3  f x x vì  

' 3 2 3  x x Cho hàm số  f x xác định trên K (K là khoảng, đoạn

hay nửa khoảng). Hàm số  F x được gọi là một

nguyên hàm của hàm số  f x trên K nếu

  '  F x f x với mọi  x K .

Định lí Nhận xét: Nếu  F x và  G x cùng là nguyên

hàm của hàm số  f x trên K thì:

   ' ' ,   F x G x x K .

     F x G x C , với C là hằng số nào

đó.

Giả sử hàm số  F x là một nguyên hàm của hàm số

 F x trên K. Khi đó:

 Với mỗi hằng số C, hàm số  F x C cũng là

một nguyên hàm của  f x trên K.

 Ngược lại, với mỗi nguyên hàm của  f x trên

K thì tồn tại một hằng số C sao cho

    G x F x C với mọi  x K . Do đó

 ,   F x C C là họ tất cả các nguyên hàm

của  f x trên K. Ký hiệu

    f x dx F x C .

Tính chất Ví dụ 1:

 

 

2sin 3cos 2 sin 3 cos

2 cos 3sin 2cos 3sin

  

          x x dx xdx xdx

x x C x x C

Ví dụ 2:

1 1 ln 3 1 3 1 3      dx x C x

Nếu   , f x g x là hai hàm số liên tục trên K thì:

a)   '   f x dx f x C

b)      kf x dx k f x dx , với k là hai số thực khác 0.

c)               mf x ng x dx m f x dx n g x dx với

m,n là hai số thực khác 0.

d) Với ,  a b và 0  a ta có:

    1     f ax b dx F ax b C a , ở đó  F x là một

nguyên hàm của  f x .

Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số  f x liên tục trên K đều có

nguyên hàm trên K.

TOANMATH.com Trang 3

BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

Nguyên hàm của hàm số sơ

cấp

Nguyên hàm của hàm số

hợp    u = u x

Nguyên hàm của hàm số hợp

   u = ax+ b;a 0

dx x C    du u C      d ax b ax b C     

 

1

1 1 x x dx C

   

       

1

1 1 u u C



 

          

1 1 1 1

ax b ax b dx C a

   

       

1 ln dx x C x    1 ln du u C u    1 1 ln dx ax b C ax b a     

2 1 1 dx C x x    2 1 1 du C u u     

2 1 1 1 . dx C a ax b ax b

    

2 3 xdx x x C    2 3 udu u u C      1 2 . 3 ax bdx ax b ax b C a      

1 2 dx x C x

   1 2 du u C u

   1 1 .2 dx ax b C a ax b

    

x x e dx e C    u u e du e C    2 ax b ax b e dx e C a

    

  0, 1 ln

x x a a dx C a a a        0, 1 ln

u u a a du C a a a        1 . 0, 1 ln

mx n mx n a a dx C a a m a

      

sin cos xdx x C    sin cos udu u C        1 sin cos ax b dx ax b C a     

cos sin xdx x C    cos sin udu u C        1 cos sin ax b dx ax b C a     

tan ln cos xdx x C    tan ln cos udu u C        1 tan ln cos ax b dx ax b C a     

cot ln sin xdx x C    cot ln sin udu u C        1 cot ln sin ax b dx ax b C a     

2 1 cot sin dx x C x    2 1 cot sin du u C u        2

1 1 cot sin dx ax b C ax b a     

2 1 tan cos dx x C x    2 1 tan cos du u C u        2

1 1 tan cos dx ax b C ax b a     

1 ln tan sin 2

x dx C x    1 ln tan sin 2 u du C u     

1 ln tan sin 2 dx ax b C ax b a

    