Ứng dụng tích phân trong các bài toán thực tế

BÀI TOÁN THỰC TẾVỀỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

MỤC LỤC

A BÀI TOÁN THỰC TẾVỀVẬN TỐC QUÃNG ĐƯỜNG 3

B BÀI TOÁN THỰC TẾVỀDIỆN TÍCH 23

C BÀI TOÁN THỰC TẾVỀTHỂTÍCH 51

2

HƯỚNG TỚI KỲTHI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2021

A BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ VẬN TỐC QUÃNG ĐƯỜNG

Câu 1. Cho hai quảbóng A, B di chuyển ngược chiều nhau va chạm với nhau. Sau va chạm mỗi quảbóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quảbóng A nảy ngược lại với vận tốc vA(t) = 8 −2t (m/s) và quảbóng B nảy ngược lại với vận tốc vB(t) = 12 −4t (m/s). Tính khoảng cách giữa hai quảbóng sau khi đã dừng hẳn (Giảsửhai quảbóng đều chuyển động thẳng).

A 36 mét. B 32 mét. C 34 mét. D 30 mét. Lời giải. Thời gian quảbóng A chuyển động từlúc va chạm đến khi dừng hẳn vA(t) = 0 ⇔8 −2t = 0 ⇒t = 4s.

Quãng đường quảbóng A di chuyển SA = Z 4

0 (8 −2t) dx = 16m

Thời gian quảbóng B chuyển động từlúc va chạm đến khi dừng hẳn vB(t) = 0 ⇔12 −4t = 0 ⇒t = 3s.

Quãng đường quảbóng B duy chuyển SB = Z 3

0 (12 −4t) dx = 18m

Vậy: Khoảng cách hai quảbóng sau khi dừng hẳn là S = SA + SB = 34m. Chọn phương án C

Câu 2. Một vật chuyển động trong 4 giờvới vận tốc v (km/h) phụthuộc thời gian t (h) có đồthịlà một phần của đường parabol có đỉnh I(1; 1) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờkẻtừlúc xuất phát.

A s = 6 km. B s = 8 km.

C s = 46

3 km. D s = 40

3 km.

O t

v

1 4

1 2

10

Lời giải. Hàm sốbiểu diễn vận tốc của vật là v(t) = t2 −2t+2. Do đó, hàm sốbiểu diễn quãng đường

di chuyển được của vật là s(t) = Z v(t) dx = 1

3t3 −t2 + 2t + C. Do khi bắt đầu chuyển động

thì quãng đường đi được bằng 0 nên C = 0. Vậy quãng đường vật di chuyển được trong 4

giờkểtừlúc xuất phát là s(4) = 40

3 km.

Chọn phương án D

Câu 3. Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v(t) = t2 + 10t(m/s) với t là thời gian tính theo đơn vịgiây kểtừkhi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200(m/s) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

A 2500

3 (m). B 2000 (m). C 500 (m). D 4000

3 (m).

Toán thực tếvềtích phân Những nẻo đường phù sa Trang 3

BÀI TOÁN THỰC TẾVỀỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Lời giải.

Xét v(t) = 200 ⇔t2 + 10t −200 = 0 ⇔

ñt = 10

t = −20 Vậy thời gian máy bay đạt vận tộc 200 m/s là thời điểm t = 10 s sau khi bắt đầu chuyển động. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

S =

10 Z

0 v(t)dt =

10 Z

0 (t2 + 2t)dt = 2500

3 .

Chọn phương án A

Câu 4. Một ô tô đang chạy với vận tốc 20m/s thì người lái đạp phanh; từthời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều và sau đúng 4 giây thì ô tô bắt đầu dừng hẳn. Hỏi từlúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?

A 20. B 50. C 40. D 30. Lời giải. Từkhi người lái đạp phanh ô tô chuyển động chậm dần đều ta có v = 20 + at với a là gia tốc của ô tô. Sau 4 giây thì ô tô dừng hẳn nên 20 + a · 4 = 0 ⇔a = −5.

Quảng đường xe đi được là S =

4 Z

0 (20 −5t) dt = Å 20t −5

2t2 ã

4

0 = 40.

Chọn phương án C

Câu 5. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v(t) = 7t(m/s). Đi được 5(s) người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = −35(m/s2). Tính quãng đường của ô tô đi được tính từlúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

A 87.5 mét. B 96.5 mét. C 102.5 mét. D 105 mét. Lời giải. Quãng đường ô tô đi được trong 5(s) đầu là

s1 =

5 Z

0 v(t)dt =

5 Z

0 7tdt = 7

2t2 5

0 = 175

2 (m).

Phương trình vận tốc khi ô tô phanh là v(t) = 35 −35t, do đó quãng đường ô tô đi được từ khi phanh đến khi dừng hẳn là

s2 =

1 Z

0 (35 −35t)dt = 35 Å t −t2

2

ã 1

0 = 35

2 (m).

Vậy quãng đường cần tính là s = s1 + s2 = 105(m). Chọn phương án D

Câu 6. Một ô-tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từthời điểm đó, ô-tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −10t + 20 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kểtừlúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từlúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô-tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A 20 …