Các dạng bài tập VDC nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1. Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số  f x xác định trên K ( K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của

). Hàm số  F x được gọi là nguyên hàm của hàm số  f x trên K nếu   Fʹ x f x  với mọi x K. 

Định lý 1: Nếu  F x là một nguyên hàm của hàm số  f x trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số

  G x F x C   cũng là một nguyên hàm của  f x trên K.

Định lý 2: Nếu  F x là một nguyên hàm của hàm số  f x trên K thì mọi nguyên hàm của  f x

đều có dạng  F x C,  với C là một hằng số.

Hai định lý trên cho thấy:

Nếu  F x là một nguyên hàm của hàm số  f x trên K thì  F x C,C  là họ tất cả các nguyên

hàm của  f x trên K. Kí hiệu

  f x dx F x C.   

Chú ý: Biểu thức  f x dx chính là vi phân của nguyên hàm  F x của  f x , vì

   ʹ dF x F x dx f x dx.  

2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1

  fʹ x dx f x C   

Tính chất 2

  kf x dx k f x dx    , k là hằng số khác 0.

Tính chất 3

    f x g x dx f x dx g x dx.          

3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 4. Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm của hàm số

sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số

hợp    u = u x

Nguyên hàm của hàm số hợp

   u = ax +b;a 0

dx x C    du u C      d ax b ax b C     

 

1 1 1 x x dx C

   

       

1 1 1 u u C

  

    

    

1 1 1

ax b ax b dx C a

   

       

1 ln dx x C x    1 ln du u C u    1 1 ln dx ax b C ax b a     

2 1 1 dx C x x    2 1 1 du C u u     

2 1 1 1 . dx C a ax b ax b     

2 3 xdx x x C    2 3 udu u u C      1 2 . 3 ax bdx ax b ax b C a      

1 2 dx x C x   

1 2 du u C u

  

1 1 .2 dx ax b C a ax b     

x x e dx e C    u u e du e C   

2 ax b ax b e dx e C a

    

  0, 1 ln

x x a a dx C a a a        0, 1 ln

u u a a du C a a a        1 . 0, 1 ln

mx n mx n a a dx C a a m a

      

sin cos xdx x C    sin cos udu u C        1 sin cos ax b dx ax b C a     

cos sin xdx x C    cos sin udu u C        1 cos sin ax b dx ax b C a     

tan ln cos xdx x C    tan ln cos udu u C        1 tan ln cos ax b dx ax b C a     

cot ln sin xdx x C    cot ln sin udu u C        1 cot ln sin ax b dx ax b C a     

2 1 cot sin dx x C x    2 1 cot sin du u C u        2 1 1 cot sin dx ax b C ax b a     

2 1 tan cos dx x C x    2 1 tan cos du u C u        2 1 1 tan cos dx ax b C ax b a     

1 ln tan sin 2 x dx C x    1 ln tan sin 2 u du C u     

1 ln tan sin 2 dx ax b C ax b a     

1 ln tan cos 2 4 x dx C x           

1 ln tan cos 2 4 u du C u              1 cos

1 ln tan 2 4

dx ax b

ax b C a 



         



II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1. Phương pháp đổi biến số

Định lý 1: Nếu f(u)du F(u) C    và u u(x)  có đạo hàm liên tục thì: