Các dạng bài tập VDC tích phân và một số phương pháp tính tích phân

BÀI 2: TÍCH PHÂN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa tích phân

Định nghĩa

Cho hàm số  f x liên tục trên đoạn   ;a b , với

. a b 

Nếu  F x là nguyên hàm của hàm số  f x trên

đoạn   ;a b thì giá trị   F b F a  được gọi là tích

phân của hàm số  f x trên đoạn   ;a b .

Kí hiệu    

b b

a a

f x dx F x F b F a     (1)

Công thức (1) còn được gọi là công thức Newton –

Leibnitz; a và b được gọi là cận dưới và cận trên của

tích phân.

Ý nghĩa hình học của tích phân

Giả sử hàm số  y f x  là hàm số liên tục và không

âm trên đoạn   ;a b . Khi đó, tích phân 

b

a

f x dx 

chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường

cong  y f x  , trục hoành Ox và hai đường thẳng

, , x a x b   với . a b 



b

a S f x dx 

Chẳng hạn: 

3 F x x C   là một nguyên

hàm của hàm số  2 3 f x x  nên tích phân

   

1 1

0 0 1 0 f x dx F x F F    

   3 3 1 0 1. C C     

Lưu ý: Giá trị của tích phân không phụ

thuộc vào hằng số C.

Trong tính toán, ta thường chọn 0. C 

Chẳng hạn: Hàm số 

2 2 1 f x x x    có

đồ thị  C và    2 1 0 f x x    , với

x .

Diện tích “tam giác cong” giới hạn bởi  C

, trục Ox và hai đường thẳng 1 x  và

1 x  là   

1 1 2

1 1 2 1 S f x dx x x dx

       

3 1 2

1 8. 3 3 x x x 

         

Lưu ý: Ta còn gọi hình phẳng trên là “hình

thang cong”.

2. Tính chất cơ bản của tích phân

Cho hàm số  f x và  g x là hai hàm số liên tục

trên khoảng K, trong đó K có thể là khoảng, nửa

khoảng hoặc đoạn và , , , a b c K  khi đó:

a. Nếu b a  thì  0

a

a f x dx  

b. Nếu  f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   ;a b

thì ta có:

   

b b

a a

f x dx f x f b f a     

c. Tính chất tuyến tính

    . . .

b b b

a a a k f x h g x dx k f x dx h g x dx          

Với mọi , . k h

d. Tính chất trung cận

  

b c b

a a c f x dx f x dx f x dx      , với   ; c a b 

e. Đảo cận tích phân

 

a b

b a f x dx f x dx   

f. Nếu  0, f x    ; x a b  thì  0

b

a f x dx   và

 0

b

a f x dx   khi  0 f x  .

g. Nếu     , ; f x g x x a b   thì

Chẳng hạn: Cho hàm số  f x liên tục, có

đạo hàm trên đoạn   1;2  thỏa mãn

 1 8 f   và  2 1. f 

Khi đó

    

2 2

1 1 2 1 9 f x dx f x f f         

Lưu ý: Từ đó ta cũng có

  

b

a f b f a f x dx   

và   

b

a f a f b f x dx   

 

b b

a a f x dx g x dx   

h. Nếu    ; min a b m f x  và    ; max a b M f x  thì

    

b

a m b a f x dx M b a     

i. Tích phân không phụ thuộc vào biến, tức là ta luôn

có

    ...

b b b b

a a a a f x dx f t dt f u du f y dy        

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Phương pháp đổi biến số

Đổi biến dạng 1

Bài toán: Giả sử ta cần tính tích phân 

b

a I f x dx  , trong

đó ta có thể phân tích      f x g u x u x   thì ta thực hiện

phép đổi biến số.

Phương pháp:

+ Đặt  u u x  , suy ra  . du u x dx  

+ Đổi cận:

x a b

u  u a  u b

+ Khi đó  



  

 u b b u b

u a a u a I f x dx g u du G u      , với

 G u là nguyên hàm của . g u

Đổi biến dạng 2

Dấu hiệu Cách đặt

2 2 a x  sin ; ; 2 2 x a t t         

2 2 x a 

sin a x t  ;  ; \ 0 2 2 t        

2 2 a x  tan ; ; 2 2 x a t t         

Lưu ý: Phương pháp đổi biến số

trong tích phân cơ bản giống như

đổi biến số trong nguyên hàm, ở

đây chỉ thêm bước đổi cận.