Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (dành cho học sinh Yếu - TB) - Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

NGUYÊN HÀM A - KIẾN THỨC CHUNG 1- Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số  f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số  F x được

gọi là nguyên hàm của hàm số  f x trên K nếu   ' F x f x  với mọi x K  .

Định lí: + Nếu  F x là một nguyên hàm của hàm số  f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

  G x F x C   cũng là một nguyên hàm của  f x trên K .

+ Nếu  F x là một nguyên hàm của hàm số  f x trên K thì mọi nguyên hàm của  f x trên K đều có

dạng  F x C  , với C là một hằng số.

Do đó  , F x C C   là họ tất cả các nguyên hàm của  f x trên K . Ký hiệu   x f x d F x C    .

+ Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1:     x f x d f x   và   ' x f x d f x C   

Tính chất 2:   x x kf x d k f x d    với k là hằng số khác 0 .

Tính chất 3:     x x x f x g x d f x d g x d          

2 - Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số  f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 3 - Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp

   u u x 

x d x C    u d u C   

  1 1 x 1 1 x d x C    

        1 1 u 1 1 u d u C    

     

1 x ln d x C x    1 u ln d u C u   

2 1 1 x d C x x    2 1 1 du C u u   

x x x e d e C    u u u e d e C   

  x 0, 1 ln

x x a a d C a a a        u 0, 1 ln

u u a a d C a a a     

sin dx cosx x C    sin du cosu u C   

cosxdx sin x C    cosudu sinu C   

2 1 x tan cos d x C x    2 1 u tan cos d u C u   

2 1 x cot sin d x C x    2 1 u cot sin d u C u   

4 – Bảng nguyên hàm mở rộng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

    1 d ax b ax b C a     

kx kx e e dx C k   

 

1 1 dx , 1 1 ax b ax b c a

   

                  1 cos dx sin ax b ax b a      c

dx 1 ln ax b c ax b a       c     1 sin dx cos ax b ax b c a      

1 dx ax b ax b e e c a

         1 tg dx ln cos ax b ax b c a     

1 dx ln

px q px q a a c p a

         1 cotg dx ln sin ax b ax b c a     

2 2 dx 1 arctg x c a x a a         2

dx 1cotg sin ax b c ax b a      

2 2 dx 1 ln 2

a x c a x a a x           2

dx 1 tg cos ax b c ax b a     

B - BÀI TẬP DẠNG 1: CÁC CÂU HỎI LÍ THUYẾT Câu 1: Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục trên   ;a b đều có đạo hàm trên   ;a b .

(2): Mọi hàm số liên tục trên   ;a b đều có nguyên hàm trên   ;a b .

(3): Mọi hàm số đạo hàm trên   ;a b đều có nguyên hàm trên   ;a b .

(4): Mọi hàm số liên tục trên   ;a b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên   ;a b .

A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Câu 2: Cho hai hàm số  f x ,  g x liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.     d d d f x g x x f x x g x x           .

B.     . d d . d f x g x x f x x g x x         .

C.     d d d f x g x x f x x g x x           .

D.   d d kf x x k f x x      0; k k  .

Câu 3: Cho  f x ,  g x là các hàm số xác định và liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.    d d . d f x g x x f x x g x x     . B.   2 d 2 d f x x f x x    .

C.     d d d f x g x x f x x g x x           . D.     d d d f x g x x f x x g x x           .

Câu 4: …