Chuyên đề tự luận nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Nguyễn Chiến

Nguyên hàm và tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com

Nguyễn Chiến: 0973.514.674 1

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

I. NGUYÊN HÀM

1. Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số  f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số  F x

được gọi là nguyên hàm của hàm số  f x trên K nếu   ' F x f x  với mọi x K  .

Kí hiệu:   x f x d F x C    .

Định lí:

1) Nếu  F x là một nguyên hàm của  f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

  G x F x C   cũng là một nguyên hàm của  f x trên K .

2) Nếu  F x là một nguyên hàm của hàm số  f x trên K thì mọi nguyên hàm của  f x trên

K đều có dạng  F x C  , với C là một hằng số.

Do đó  , F x C C   là họ tất cả các nguyên hàm của  f x trên K .

2. Tính chất của nguyên hàm

     x f x d f x   và   ' x f x d f x C    ;     dx dx d f x f x  

 Nếu F(x) có đạo hàm thì:   ( ) ( ) d F x F x C   

   x x kf x d k f x d    với k là hằng số khác 0 .

     x x x f x g x d f x d g x d          

 Công thức đổi biến số: Cho  y f u  và . u g x 

Nếu ( ) ( ) f x dx F x C    thì   ( ) '( ) ( ) f g x g x dx f u du    ( ) F u C  

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số  f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .

Nguyên hàm và tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com

Nguyễn Chiến: 0973.514.674 2

BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ THƢỜNG GẶP 1. 0dx C   2. dx x C   

3.   1 1 1 1 x dx x C    

      16.    

1 1 dx , 1 1 ax b ax b c a

   

       

4. 2 1 1 dx C x x    17.

 

2 1 1 1 . dx C a ax b ax b

    

5. 1 ln dx x C x    18. 1 ln dx ax b C ax b a     

6. x x e dx e C    19. 1 ax b ax b e dx e C a

    

7. ln

x x a a dx C a    20. 1

ln

kx b kx b a a dx C k a

    

8. cos sin xdx x C    21.     1 cos sin ax b dx ax b C a     

9. sin cos xdx x C    22.     1 sin cos ax b dx ax b C a     

10. tan . ln | cos | x dx x C    23.     1 tan ln cos ax b dx ax b C a     

11. cot . ln |sin | x dx x C    24.     1 cot ln sin ax b dx ax b C a     

12. 2 1 tan cos dx x C x    25.     2

1 1 tan cos dx ax b C ax b a     

13. 2 1 cot sin dx x C x    26.     2

1 1 cot sin dx ax b C ax b a     

14.   2 1 tan tan x dx x C     27.       2 1 1 tan tan ax b dx ax b C a      

15.   2 1 cot cot x dx x C     28.       2 1 1 cot cot ax b dx ax b C a      

BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG

2 2

1 arctan dx x C a x a a     2 2 arcsin arcsin x x dx x a x C a a     

2 2

1 ln 2 dx a x C a x a a x       2 2 arccos arccos x x dx x a x C a a     

  2 2

2 2 ln dx x x a C x a

        2 2 arctan arctan ln 2 x x a dx x a x C a a     

2 2 arcsin dx x C a a x

      2 2 arccot arccot ln 2 x x a dx x a x C a a     

2 2

1 arccos dx x C a a x x a

     

1 ln tan sin 2 dx ax b C ax b a

    

2 2

2 2

1 ln dx a x a C a x x x a

       

1 ln tan sin 2 dx ax b C ax b a

    

    ln ln b ax b dx x ax b x c a               

2 2 cos sin cos

ax ax e a bx b bx e bxdx C a b     

2 2 2 2 2 dx arcsin 2 2 x a x a x a x C a        

2 2 sin cos sin

ax ax e a bx b bx e bxdx C a b     