Chuyên đề tích phân - Phạm Thanh Phương

Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017

GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -1 -

Tác giả: PHẠM THANH PHƢƠNG (Đà Nẵng) Biên tập: Lê Bá Bảo (Huế)

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG

Chủ đề 2:

I. ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

1. ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số f liên tục trên K và ,a b là hai số thực bất kì thuộc K . Nếu F là một

nguyên hàm của f trên K thì hiệu số   F b F a  gọi là tích phân của f từ a đến b , ký hiệu

d

b

a f x x  . Nếu a b  thì d

b

a f x x  gọi là tích phân của f trên đoạn ;a b    .

Hiệu số   F b F a  còn được ký hiệu là 

b F x a , do đó nếu F là một nguyên hàm của f

trên K thì     d

b

a

b f x x F x F b F a a     .

Vì d ( ) f x x  là một nguyên hàm bất kỳ của f nên ta có    d ( )

b

a

b f x dx f x x a    .

Ta gọi a là cận dưới, b là cận trên, x là biến lấy tích phân, f là hàm số dưới dấu tích

phân, d f x x là biểu thức dưới dấu tích phân.

Tích phân chỉ phụ thuộc vào 2 cận tích phân và biểu thức dưới dấu tích phân, nó không

phụ thuộc vào biến lấy tích phân, tức là:

     d d d

b b b

a a a f x x f t t f u u F b F a       

Ví dụ 1: d

3 2

1

3 1 1 1 1 1 4 2 ln 2 1 18 ln5 2 ln1 16 ln5 1 2 1 2 2 2 2 I x x x x x                                      .

Chuyên đề: TÍCH PHÂN Luyện thi THPT Quốc gia 2017

GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257 CLB Giáo viên trẻ TP Huế -2 -

Ví dụ 2:  d d d

2 3 3 3 2 2

1 1 1

1 3 2 1 1 2 2 ln 1 2

x x x x I x x x x x x x x x

                         

9 1 6 ln3 2 ln1 ln3 2 2                   

.

Ví dụ 3: d

2 4 3 2

1

2 2 2 2ln 1 4 y I y y y y y y

                  

  1 27 4 4 2ln2 1 2ln1 2ln2 4 4             

Ví dụ 4:  d

2

0

cos2 1 1 2cos sin2 2sin 2 0 1 2 2 2 2 0

t I t t t t

                              .

Ví dụ 5:       d d

4 4 2 2

2 2

4 4 cot 3 1 cot 3 cot

2

I s s s s s s

 

 



        

3 3 3 4 1 0 4 2 4                      

.

2. TÍNH CHẤT

Với 2 hàm số ,f g liên tục trên K và , , a b c là 3 số thực bất kỳ thuộc K , ta có:

 d 0

a

a f x x      d d

b a

a b f x x f x x   

    d d d

b c c

a b a f x x f x x f x x           d d d

b b b

a a a f x g x x f x x g x x          

   d d . . ,

b b

a a k f x x k f x x k     .

Dùng định nghĩa tích phân, ta chứng minh được 2 tính chất sau:

Nếu  0 f x  trên ;a b     thì d 0

b

a f x x   .

Nếu   f x g x  trên ;a b     thì   d d

b b

a a f x x g x x    .

II. PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH, ĐƢA VỀ TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN

- Phương pháp này tính được các tính phân hàm đa thức, hàm có chứa dấu trị tuyệt đối,

1 số hàm lượng giác đơn giản.

- Để tính tích phân theo phương pháp này, cần phải nắm định nghĩa tích phân, các tính

chất tích phân và thuộc bảng nguyên hàm để có thể biến đổi hàm dưới dấu tích phân về các

hàm thường gặp. Từ đó, học sinh có thể linh hoạt đưa bài toán mới về những bài toán cơ bản.