21 bài tập Tích phân hàm số hữu tỉ có lời giải - Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân

Trang 1

TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ

Dạng 1: Tách phân thức

Câu 1. x I dx x x

2 2

2 1 7 12 

  

 I dx x x

2

1

16 9 1 4 3             =   x x x

2

1 16ln 4 9ln 3     = 1 25ln2 16ln3   .

Câu 2. dx I

x x

2

5 3 1 

 

 Ta có: x x x x x x 3 2 3 2 1 1 1

( 1) 1     

 I x x x

2 2

2 1 1 3 1 3 ln ln( 1) ln2 ln5 2 2 2 8 1 2

            

Câu 3. x I dx x x x

5 2

3 2 4

3 1

2 5 6

 

     I 2 4 13 7 14 ln ln ln2 3 3 15 6 5   

Câu 4. xdx I

x

1

0 3 ( 1) 

 

 Ta có: x x x x x x

2 3 3 3 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

         

I x x dx 1 2 3 0

1 ( 1) ( 1) 8

            

Dạng 2: Đổi biến số

Câu 5. x I dx x

2

4 ( 1)

(2 1)

 

   Ta có: x x f x x x

2 1 1 1 ( ) . . 3 2 1 2 1

                 

 x I C x

3 1 1 9 2 1          

Câu 6.  

 

x I dx x

99 1

101 0

7 1

2 1

 

 



 

x dx x x I d x x x x

99 99 1 1

2 0 0

7 1 1 7 1 7 1 2 1 9 2 1 2 1 2 1

                            

x x

100

100 1 1 7 1 1 1 2 1 0 9 100 2 1 900               

Câu 7. x I dx x

1

2 2 0

5

( 4) 

   Đặt t x2 4    I 1 8 

Câu 8. x I dx x

1 7

2 5 0 (1 ) 

   Đặt t x dt xdx 2 1 2     t I dt t

2 3

5 5 1

1 ( 1) 1 1 . 2 4 2

   

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng

Trang 2

Câu 9. I x x dx 1

5 3 6

0

(1 )   

 Đặt dt t t t x dt x dx dx I t t dt x

1 7 8 3 2 6 2

0

1 1 1 1 3 (1 ) 3 3 7 8 168 3

                  

Câu 10. I dx x x

4 3

4 1

1

( 1) 

   Đặt t x2   t I dt t t

3

2 1

1 1 1 3 ln 2 4 2 1

          

Câu 11. dx I

x x

2

10 2 1 .( 1) 

   x dx I

x x

2 4

5 10 2 1

.

.( 1) 

  . Đặt t x5   dt I

t t

32

2 2 1

1 5 ( 1) 

 

Câu 12. x I dx x x

2 7

7 1

1

(1 )

 

   x x I dx x x

2 7 6

7 7 1

(1 ).

.(1 )

 

  . Đặt t x7   t I dt t t

128

1

1 1 7 (1 )    

Câu 13. dx I

x x

3

6 2 1 (1 ) 

 

 Đặt : x t 1   t I dt t t dt t t

3

1 6 3 4 2 2 2 1 3 3

1 1 1 1

              = 117 41 3 135 12

  

Câu 14. x I dx x

2 2001

2 1002 1

. (1 ) 

 

 x I dx dx x x

x

x

2 2 2004

3 2 1002 1002 1 1 3

2

1 . . (1 ) 1 1

         

  . Đặt t dt dx x x 2 3 1 2 1     .

Cách 2: Ta có: x xdx I

x x

1 2000

2 2000 2 2 0

1 .2 2 (1 ) (1 ) 

   . Đặt t x dt xdx 2 1 2   

 t I dt d t t t t

1000 2 2 1000

1000 2 1001 1 1

1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 2 2 2002.2

                   

Câu 15. x I dx x

2 2

4 1

1

1

 

 

 Ta có: x x x x

x

2 2

4 2

2

1 1 1

1 1

    

. Đặt t x dt dx x x2 1 1 1           

 dt I dt t t t

3 3 2 2

2 1 1

1 1 1

2 2 2 2 2

             

t

t

3 1 2 1 2 1 .ln ln 2 2 2 2 2 2 2 1 1

             

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân

Trang 3

Câu 16. x I dx x

2 2

4 1

1

1

 

 

 Ta có: x x x x

x

2 2

4 2

2

1 1 1

1 1

    

. Đặt t x dt dx x x2 1 1 1           

 dt I

t

5 2

2 2 2 

  .

Đặt du t u dt

u 2 2 tan 2

cos    ; u u u u 1 2 5 5 tan 2 arctan2; tan arctan 2 2      



u

u I du u u

2

1

2 1 2 2 2 5 ( ) arctan arctan2 2 2 2 2            

Câu 17. x I dx x x

2 2

3 1

1 

   Ta có: x I dx x x

2 2

1

1 1

1

 

  . Đặt t x x 1    I 4 ln 5 

Câu 18. x I dx x

1 4

6 0

1

1

 

 

 Ta có: x x x x x x x x

x x x x x x x x

4 4 2 2 4 2 2 2

6 6 2 4 2 6 2 6 1 ( 1) 1 1

1 1 ( 1)( 1) 1 1 1

                  

 d x I dx dx x x

1 1 3

2 3 2 0 0

1 1 ( ) 1. 3 4 3 4 3 1 ( ) 1

           

Câu 19. x I dx x

3

2 3

4 0 1 

 

 x I dx dx x x x x

3 3 2 3 3

2 2 2 2 0 0

1 1 1 1 ln(2 3) 2 4 12 ( 1)( 1) 1 1

                  

Câu 20. xdx I

x x

1

4 2 0 1 

   .  Đặt t x2   dt dt I

t t

t

1 1

2 2 2 0 0

1 1 2 2 6 3 1 1 3 2 2

        …