Chuyên đề trắc nghiệm cực trị số phức

CHỦ ĐỀ 19: BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC

 Dạng 1: Cho số phức z thỏa mãn z z z z − = − 1 2 . Tìm số phức thỏa mãn z z − 0 nhỏ nhất.

Phương pháp: Đặt M(z);A(z );B(z ) 1 2 là các điểm biểu diễn số

phức 1 z; z và z2. Khi đó từ giả thiết z z z z − = − 1 2 suy ra

MA MB = , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung

trực ∆ của AB.

Gọi N(z ) 0 là điểm biểu diễn số phức z0

Ta có MN z z = − 0 nhỏ nhất khi min MN khi M là hình chiếu

vuông góc của N trên d và min MN d(N; ) = ∆

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn 4 − − = + z i z i . Gọi ( ; ) z a bi a b = + ∈ là số phức thỏa mãn

1 3 −+ z i nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức 2 3 = + T a b là:

A. 4 − B. 4 C. 0 D. 1

Lời giải

Đặt ( ); (4;1), B(0; 1) M z A − là các điểm biểu diễn số phức ; 4 z i + và −i . Khi đó từ giả thiết suy ra

= MA MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung

trực của AB đi qua I(2;0) và có VTPT là

( 4; 2) : 2 4 0 = − − ⇒∆ + − = n AB x y  

Gọi (1; 3) − N là điểm biểu diễn số phức 1 3 −i

Ta có 1 3 −+ z i nhỏ nhất khi min MN khi M là hình chiếu vuông

góc của N trên ∆, suy ra : x 2 y 1 0 − + = MN

Giải hệ ( ) 2 4 0 3 3; 2 3 2 2 3 0 2 7 0 2

+ − = =   ⇒ ⇒ − ⇒ = − ⇒ + =   − − = = −  

x y x M z i a b x y y . Chọn C.

Ví dụ 2: Cho các số phức z thỏa mãn 2 2 − = + z i z . Gọi z là số phức thỏa mãn (2 ) 5 − + i z nhỏ nhất.

Khi đó :

A. 0 1 < < z B. 1 2 < < z C. 2 3 < < z D. 3 > z

Lời giải

Gọi (x;y); (0;2),B( 2;0) − M A là các điểm biểu diễn số phức ; 2 z i và 2 −.

Từ giả thiết ⇒ = ⇒ ∈ MA MB M trung trực của AB có phương trình : 0 ∆ + = x y

Lại có: 5 (2 ) 5 2 5 2 2 = − + = − + = + + − P i z i z z i i , gọi ( 2; 1) − − N là điểm biểu diễn số phức 2 −−i

suy ra 5 = P MN

Ta có P nhỏ nhất khi min MN khi M là hình chiếu vuông góc của N trên ∆, suy ra phương trình

: x y 1 0 −+ = MN

Giải hệ

1 0 1 1 1 1 2 2 ; 1 0 1 2 2 2 2 2 2

− =  + =  − −    ⇒ ⇒ ⇒ = + ⇒ =     − + =     = 

x x y M z i z x y y

. Chọn A.

 Dạng 2: Cho số phức z thỏa mãn z z R − = 0 . Tìm số phức thỏa mãn P z z = − 1 đạt giá trị lớn nhất,

nhỏ nhất.

Phương pháp: Đặt M(z);I(z );E(z ) 0 1 là các điểm biểu diễn số

phức 0 z; z và z1. Khi đó từ giả thiết 0 z z R MI R − = ⇔ =

M ⇒ thuộc đường tròn tâm I bán kính R. Ta có: P ME = lớn

nhất max ME ⇔ và P nhỏ nhất min ME ⇔ . Khi đó:

max P IE R M M = + ⇔ ≡ 2và min P IE R M M = − ⇔ ≡ 1

(Điểm E có thể nằm trong hoặc ngoài đường tròn).

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn 3 2 3 −+ = iz i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 = −− P z i

A. min P = 3 B. min P 13 3 = − C. min P = 2 D. min P = 10

Lời giải

Ta có: 3 3 2 3 2 3 2 3 3 −+ = ⇔ − + = ⇔ + + = ⇒ iz i i z z i i tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường

tròn tâm ( 2; 3) − − I bán kính 3 = R

Gọi E( ; ) 11 là điểm biểu diễn số phức min 1 2 + ⇒ = ⇒ = − = i P ME P EI R

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn 2 5 + − = z i . Gọi 1z và 2z lần lượt là 2 số phức làm cho biểu thức

2 3 = − − P z i đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Tính 1 2 3 2 = + T z z

A. T = 20 B. T = 6 C. T = 14 D. T = 24

Lời giải

Ta có: 2 5 + − = ⇒ z i tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm ( 2;1) − I bán kính

5 = R . Gọi E(2;3) P ME ⇒ =

Phương trình đường thẳng : 2 4 0 − + = IE x y

Dựa vào hình vẽ ta có max P IE R M M = + ⇔ ≡ 2

Giải hệ

2 min

2 2 1 min

2 4 0 ( 4;0) 3 5

( 2) ( 1) 5 (0;2) P 5

 − + = − ⇒ =  ⇒  + + − = ⇒ =   

x y M P

x y M

.