Chuyên đề trắc nghiệm biểu diễn hình học của số phức

CHỦ ĐỀ 18: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

1)Định nghĩa

Mỗi số phức z x yi = + được biểu diễn một điểm ( ) ; M x y khi đó ( ) ; OM x y = 

trên mặt phẳng phức. Ta

viết ( ) M x yi + hoặc ( ) M z .

Khi đó 2 2 z OM x y = = + 

Nếu điểm ( ) 1 M z là điểm biểu diễn số phức 1z và điểm ( ) 2 N z là điểm biểu diễn số phức 2z thì

1 2 1 2 , z z OM ON NM z z OM ON − = − = + = +     

.

2)Phương pháp giải toán

 Bài toán 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn ( ) ( ) ; ; f z z g z z = hoặc ( ) ; f z z là số

thực, hoặc ( ) ; f z z là số ảo

Phương pháp giải: Đặt ( ) ; z x yi x y z x yi = + ∈ ⇒ = −  thế vào biểu thức ban đầu, biến đổi và kết luận.

Mối liên hệ giữa x và y Kết luận tập hợp điểm ( ) ; M x y

○ 0 Ax By C + + = Là đường thẳng 0 Ax By C + + =

○ ( ) ( ) 2 2 2

2 2 2 2 0

x a y b R

x y ax by c

 − + − =   + − − + = 

Là đường tròn ( ) C có tâm ( ) ; I a b và bán kính

2 2 R a b c = + −

○ ( ) ( ) 2 2 2

2 2 2 2 0

x a y b R

x y ax by c

 − + − ≤   + − − + ≤ 

Là hình tròn ( ) C có tâm ( ) ; I a b và bán kính

2 2 R a b c = + − (bao gồm đường tròn và các điểm

bên trong).

○ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 R x a y b R ≤ − + − ≤ Là những điểm thuộc miền có hình vành khăn tạo

bởi hai đường tròn đồng tâm ( ) ; I a b và bán kính

lần lượt 1 R và 2 R

○ 2 y ax bx c = + + Là một parabol ( ) P có đỉnh ; 2 4 b I a a ∆   − −    

○

2 2

2 2 1 x y a b + = với

1 2

1 2

2

2 2

MF MF a

F F c a

+ =   = < 

Là một elíp có trục lớn 2a trục bé 2b và tiêu cự là

( ) 2 2 1 2 2 2 ; 0 F F c a b a b = = + > >

Một số trường hợp đặc biệt:

 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn ( ) ( ) z a bi z c di − + = − +

Gọi ( ) ( ) ( ) ; ; ; ; M z A a b B c d lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ;z a bi + và c di + .

Khi đó ( ) ( ) z a bi z c di MA MB − + = − + ⇔ = ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trung trực của

AB .

 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn ( ) ( ) 0 z a bi R R − + = >

Gọi ( ) ( ) ; ; M z I a b lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z và a bi +

Khi đó ( ) z a bi R MI R − + = ⇔ = ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm ( ) ; I a b bán

kính R .

 Bài toán 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w biết 1 2 . w z z z = + và số phức z thỏa mãn

z a bi R − − =

Ta có: 2

1

w z z z − = suy ra ( ) 2 2 1 1 1

w z z a bi R a bi R w z z a bi R z z − − − = ⇔ − − = ⇔ − − + =

Tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn bán kính 1 R z ,

Tổng quát: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w biết 1 2 . w z z z = + và số phức z thỏa mãn

0 .z z a bi R − − = (thêm yếu tố 0z )

Ta có: 2

1

w z z z − = suy ra ( ) 1 1 2 0 0 2 1 0 0 0 . z a bi R z w z a bi z z a bi R z R w z z z z z

+ − + − − = ⇔ − = ⇔ − − =

Tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn bán kính 1

0

R z

z .

3)Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn 3 2 3 z i z z i + = − + . Tập hợp tất cả các điểm

M như vậy là:

A. một đường tròn B. một parabol C. một đường thẳng D. một elip

Lời giải

Gọi ( ) ; z x yi x y = + ∈ khi đó ta có: ( ) ( ) 3 2 3 x yi i x yi x yi i + + = − − + +

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 3 3 9 9 1 9 1 x y i x y i x y x y ⇔ + + = − − ⇔ + + = + −

2 2 4 8 18 0 9 x y y x ⇔ + = ⇔ = − nên tập hợp là Parabol. Chọn B.

Ví dụ 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho ( )( ) 1 1 z z − + là số thực.

A. một đường tròn B. một parabol C. một đường thẳng D. một elip

Lời giải

Đặt z x yi = + ta có: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 z z x yi x yi x yi x yi    − + = + − − + = − + + −   