Chuyên đề trắc nghiệm phương trình phức

CHỦ ĐỀ 17: PHƯƠNG TRÌNH PHỨC

1. Căn bậc hai của số phức

 Cho số phức w . Số phức z thỏa mãn 2z w = được gọi là một căn bậc hai của w .

 Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

 Mỗi số phức khác 0 có căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0).

 Số thực 0 a > có hai căn bậc hai là a và a − .

 Số thực 0 a < có hai căn bậc hai là i a − và i a − .

2. Phương trình phức

Xét phương trình bậc hai 2 z az b c + + , với ; , , z a b c ∈ ∈   và 0 a ≠ .

 Xét biệt thức 2 4 b ac ∆= − .

 Nếu 0 ∆≠ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 b z a δ −+ = và 2 2 b z a δ −− = , trong đó δ là một

căn bậc hai của ∆ .

 Nếu 0 ∆= thì phương trình có nghiệm kép 1 2 2a b z z = = − .

Đặc biệt:

 Khi ∆ là số thực dương thì phương trình có hai nghiệm 1 2a b z −+ ∆ = và 2 2a b z −− ∆ = .

 Khi ∆ là số thực âm thì phương trình có hai nghiệm 1 2a i z −+ −∆ = và 2 2a b i z −− −∆ = .

 Nhận xét:

Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc 2 đều có 2 nghiệm (không nhất thiết phân biệt)

 Định lý Viete: Phương tình bậc hai 2 z az b c + + , với ; ,b,c z a ∈ ∈   và 0 a ≠ có 2 nghiệm phức

1z và 2z thì:

1 2

1 2

b z z a c z z a

−  + =   = 

.

3. Tìm căn bậc 2 của số phức ( ) ; z a bi a b = + ∈ .

Thao tác: Chuyển máy tính qua chế độ Radian ( ) 4 SHIFT MODE − − và chế độ số phức CMPLX

( ) 2 SHIFT MODE − −

Khi đó một căn bậc 2 của z là: ( ) arg 2 a bi a bi + + ∠ , căn bậc 2 còn lại chính là số đối của số vừa tính

được.

Trong đó ( ) ; SHIFT ;arg 2 1 SHIFT hyp SHIFT = − ∠= −− = − − .

Ví dụ 1: Biết 1z và 2z là 2 nghiệm của phương tình 2 2z 4 0 z − + = . Tính 1 2 T z z = +

A. 2 3 T = . B. 2 3 T = + . C. 4 T = . D. 4 2 3 T = + .

Lời giải:

Ta có:

1 2 2 1 2

2

1 3 1 4 3 3 2 4 1 3

z i i z z T z i

 = + ′ ∆= − = −= ⇒ ⇒ = = ⇒ =  = − 

. Chọn C.

Ví dụ 2: Biết 1z và 2z là 2 nghiệm của phương trình ( ) 2 4 0 z i − + = . Tính 1 2 T z z = +

A. 3 T = . B. 2 T = . C. 4 T = . D. 10 T = .

Lời giải:

Ta có:( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 0 4 4 2 z i i z i z i z i i z i i x i −= =   − + = ⇔ − = −= ⇔ ⇔   −= − = −  

Do đó 1 2 4 T z z = + = . Chọn A.

Ví dụ 3: Gọi 1 2 ; z z là 2 nghiệm phức của phương trình ( ) 2 3 4 3 0 z i z i − − + − = .

Tìm giá trị của biểu thức 2 2 1 2 T z z = +

A. 2 T = . B. 5 T = . C. 2 5 T = . D. 10 T = .

Lời giải:

Ta có: ( ) ( ) 2 2 3 16 12 8 6 1 3 i i i i ∆= − − + = −+ = +

Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là

1

2

3 1 3 2 2 3 1 3 1 2 2

i i z i

i i z i

−+ +  = = +   −−−  = = − 

Do đó: 2 2 1 2 3 4 ; 3 4 3 4 3 4 10 z i z i T i i = + = −− ⇒ = + + −− = .Chọn D.

Ví dụ 4: Gọi 1 2 ; z z là 2 nghiệm phức của phương trình ( ) 2 3 1 5 0 z i z i + + + = . Tìm giá trị biểu thức

1 2 T z z = + .

A. 2 T = . B. 5 T = . C. 2 5 T = . D. 10 T = .

Lời giải:

Ta có: ( ) ( ) 2 2 9 1 20 2 1 i i i i ∆= + − = − = −

Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là

1

1 2

2

3 3 1 2 2 5 3 3 1 1 2 2

i i z i z z i i z i

+ + −  = = +  ⇒ = =  + −+  = = + 

Do đó 2 5 T = . Chọn C.

Ví dụ 5: Giải phương trình phức ( ) 2 1 2 1 0 z i z i + − −−= .

A. 1 3

z i

z i

= −  = −+ 

. B. 1 1 z z i = −  = − 

. C. 1 3

z i

z i

=  = − 

. D. 1 z i z i =  = −+ 

.

Lời giải:

Ta có ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 4 1 1 2 i i i i z i −+ + ∆= − + + = ⇒ = = và 2 1 2 1 1 2 i z i −+ − = = −+ .Chọn D

Ví dụ 6: Cho phương trình phức ( ) 2 z 0 , z b c b c + + = ∈ có một nghiệm là 1 2i + . Tính giá trị của biểu

thức S = b + c.

A. S = 7. B. S = 1 − . C. S = 3. D. S = 3 − .

Lời giải:

Ta có ( ) ( ) 2 1 2 1 2 0 3 4 2 0 i b i c i b bi c + + + + = ⇔−+ + + + =

( ) 2 4 0 2 3 2 4 0 3 3 0 5

b b b c b i S b c c

+ = = −   ⇔ + −+ + = ⇔ ⇔ ⇒ =   + − = =  

. Chọn C.

Ví dụ 7: [Đề minh hoạ Bộ GD & ĐT 2017] Kí hiệu 1 2 3 4 , , , z z z z là bốn nghiệm phức của phương trình

4 2 12 0 z z − − = . Tính tổng 1 2 3 4 T z z z z = + + + .

A. T = 4. B. 2 3 T = . C. 4 2 3 T = + . D. 2 2 3 T = + .

Lời giải:

Ta có

2 4 2

2 2 2 4 12 0 3 3 3

z z z z z i z i

= ±   = − − = ⇔ ⇔  = ± = −=  

Do đó 2 2 3 3 2 2 3 3 4 2 3 T i i = + − + + − = + + + = + . …