Các dạng toán có yếu tố max - min trong số phức

CÁC DẠNG TOÁN CÓ YẾU TỐ MAX- MIN TRONG SỐ PHỨC

Giáo viên: Trương Đức Thịnh – Nguyễn Thu Hằng

Nhóm giáo viên tiếp sức Chinh phục kỳ thi THPT 2021

Bài toán có yếu tố max-min trong số phức là một trong những dạng toán khó ở trong chương

trình môn Toán THPT và thường được lựa chọn ở các câu VD-VDC mang tính phân loại thí sinh.

Trong đề tham khảo của bộ năm 2021 cũng có một câu ở mức độ như vậy. Chúng ta cùng phân

tích câu 49 dưới những góc nhìn khác nhau để tìm ra các hướng xử lý cho dạng toán này.

A. Phân tích bài toán số phức trong đề tham khảo 2021

Ví dụ 1. (Câu 49-Đề tham khảo 2021) Xét hai số phức 1 2 , z z thỏa mãn   1 2 1, 2 z z

và   1 2 3 z z . Giá trị lớn nhất   1 2 3 5 z z i bằng

A.  5 19 . B.  5 19 . C.  5 2 19 . D.  5 2 19 .

Phân tích hướng giải

Đối với dạng toán có yếu tố max-min trong số phức ta có 2 hướng tiếp cận chính như sau:

+) Hướng 1: Sử dụng các phép toán số phức liên quan tới môđun để đưa bài toán về

hàm số một biến rồi khảo sát hoặc dùng các bất đẳng thức để đánh giá.

+) Hướng 2: Đưa về bài toán cực trị hình học quen thuộc

Căn cứ vào yêu cầu bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   1 2 3 5 z z i có dạng

môđun của một tổng, bài toán có thể được giải quyết nếu  1 2 3z z là một hằng số, từ đó

ta mạnh dạn đi tính  1 2 3z z từ các giả thiết của bài toán. Sau đó ta sẽ sử dụng một trong

2 hướng kể trên hoặc tổng hợp các hướng để kết thúc bài toán.

Lời giải tham khảo

+ Trước hết ta tính  1 2 3z z ta có một vài cách tính như sau

Cách 1: Tính toán trực tiếp

Đây là cách tiếp cận đơn giản nhất cho bài toán chỉ sử sụng những kiến thức cơ bản

của số phức để biến đổi.

Đặt     1 2 , z a bi z c di với , , , a b c d và  2 1. i Theo giả thiết ta suy ra

   

   

     

2 2 1

2 2 2

2 2 1 2

1 1

2 4

= 3 ( ) ( ) 3.

z a b

z c d

z z a c b d

Khai triển và rút gọn          2 2 2 2 2 2 3 1. a ac c b bd d ac bd

Ta có      1 2 3 (3 ) (3 ) z z a c b d i nên

            2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 (3 ) (3 ) 9( ) ( ) 6( ) 19. z z a c b d a b c d ac bd

Suy ra   1 2 3 19 z z .

Cách 2: Sử dụng các đẳng thức môđun

Để sử dụng cách này đòi hỏi các em phải có kỹ năng biến đổi phép toán trên số phức

ở dạng hình thức. Ta có đẳng thức

       2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . mz nz m z m z mn z z z z .

Đẳng thức này ta được chứng minh nhờ hai tính chất cơ bản  2 . z z z và    1 2 1 2 z z z z

Thật vậy

     

2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . mz nz mz nz mz nz mz nz mz nz       

 

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 m z m z mn z z z z     (điều phải chứng minh).

Áp dụng đẳng thức trên ta được:

            2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 9 3 . 13 3 . z z z z z z z z z z z z .

Lại có              2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 . . 2 z z z z z z z z z z z z . Thay lại ta được

  1 2 3 19 z z .

Cách 3: Sử dụng hình học

Để sử dụng được pháp pháp này các em cần phải vận dụng linh hoạt về biểu diễn

hình học của số phức, kết hợp với kiến thức về véctơ hay hệ thức lượng trong tam giác…để

giải quyết bài toán.

Gọi , , , A B C D là các điểm biểu diễn của 1 2 1 2 , , 3 , z z z z  giả thiết trở thành

1 2 1 2 1 1; 2 2; 3 3 z OA z OB z z AB           .

Khi đó   1 2 3z z CD .

Sử dụng định lý Cosin trong tam giác OCD và để ý     o 180 COD AOB ta được

          2 2 2 2 . .cos 13 12cos 13 12cos CD OC OD OC OD COD COD AOB

    

2 2 2 13 12 19 2 OA OB AB OAOB . Suy ra    1 2 3 19 z z CD .

Tiếp theo ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   1 2 3 5 z z i

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức tam giác ở dạng môđun

+    1 2 1 2 z z z z . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

         

2

2 1 2

0

0, , 0 :

z

z k k z kz .

+    1 2 1 2 z z z z . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

         

2

2 1 2

0

0, , 0 :

z

z k k z kz .