Áp dụng đẳng thức và bất đẳng thức mô đun tìm GTLN - GTNN của mô đun số phức

NHÓM TOÁN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1

NHÓM TOÁN VD – VDC

NHÓM TOÁN VD - VDC ÁP DỤNG ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC MÔ ĐUN

NĂM HỌC 2020 – 2021

Mỗi số phức, ở khía cạnh đại số, là nghiệm tương ứng duy nhất một tam thức bậc hai monic

hệ số thực có biệt thức âm. Nếu zlà nghiệm của 2 ( ) f x x ax b = + + với , a b và

2 4 0 a b = −  thì nghiệm còn lại sẽ gọi là liên hợp của nó. Tích hai nghiệm sẽ là b và là một số không âm. Căn bậc hai của b gọi là module.

Ở khía cạnh hình học, mỗi số phức sẽ là cặp tọa độ của một vector, và độ lớn của vector đó chính là module.

Module của số phức. Số phức liên hợp:

( ) , z a bi a b = +  thì module của z là 2 2 z a b = + ; Số phức liên hợp của z là

z a bi = − Ta có: Phần thực của z là Re 2 z z z + = , phần ảo của z là Im 2 z z z − = ;

1 2 1 2 zz z z = ,

2 z zz = ; 1 2 1 2 z z z z + = + , 1 2 1 2 zz z z = , z z = ; 1 1

2 2

z z z z = ,

( ) 1 1

2 2 2

0 z z z z z

 =     

.

1/ Đẳng thức Mô - Đun

+ ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . . m z nz m z n z m n z z z z + = + + + với , m n  và 1 2 , z z  .

+

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 z z z z z z z z z   + − + + + = + +      

với 1 2 , , z z z  .

+

2 1 1 2 1 2 1 2

z z z z z z z z + = + với 1 2 , z z là các số phức khác 0 .

+Nếu

2

, ,

0

4 0

a b c a

b ac

     = −  

thì phương trình 2 0 az bz c + + = có hai nghiệm phức không

thực 1,2 2

b i z a

−  = . Dễ thấy 1 2 1 2 z z z z =  = .

2/ BĐT Mô - Đun

LÝ THUYẾT I.

I

NHÓM TOÁN VD – VDC ÁP DỤNG BĐT VÀ BĐT MÔ - ĐUN

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2

NHÓM TOÁN VD – VDC

Lớp 7: A B BC A C A B BC −   + .

Lớp 10: a b a b a b −  +  + .

Lớp 12: 1 2 1 2 1 2 z z z z z z −  +  + .

+ 1 2 1 2 z z z z z z + + +  − . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

( ) ( )

( ) ( )   ( )

( ) ( )

1 1 2

2 2 1

2

1 2 2

; 0;1

0

; 0; ; 0

z z k z z z z

k k z z k z z z z

z z

z z k z z z z k k

+ = + + −−         + = + + −−       

+ =  + = + +     

.

+ 1 2 1 2 z z z z z z + − +  − . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

( ) ( )

( )

(   ) ( )

( ) ( )

1 1 2

2 1 2

2

1 2 2

, ;0 1;

0

; 0; , 0

z z k z z z z

k k z z k z z z z

z z

z z k z z z z k k

+ = + + −−       − +   + = −− + +       

+ =  + = + +     

.

Câu 1: Minh Hoạ-T4/N2021

Xét hai số phức 1 2 , z z thỏa mãn 1 2 1, 2 z z = = và 1 2 3 z z − = . Giá trị lớn nhất

1 2 3 5 z z i + − bằng

Ⓐ. 5 19 − . Ⓑ. 5 19 + . Ⓒ. 5 2 19 − + . Ⓓ. 5 2 19 + .

a Định hướng

Tất cả giả thiết của đề bài đều nói về Mô đun của số phức, chính vì thế ta xét:

2 1 2 m z nz + .

Bằng tính toán ta có kết quả: ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . . m z nz m z n z m n z z z z + = + + + . Trong đó

, m nlà các số thực và 1 2 , z z là các số phức. Như vậy từ giả thiết ta sẽ tính được 1 2 3z z + và

đưa bài toán đã cho về bài toán quen thuộc.

b Lời giải tham khảo

Lời giải

+ ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 . . z z z z z z z z = − = + − + ( ) 1 2 1 2 5 . . z z z z = − + ( ) 1 2 1 2 . . 2 z z z z  + = ;

( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 9 3 . . 19 z z z z z z z z + = + + + = .

+Áp dụng bất đẳng thức mô đun, có:

( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 3 5 3 5 3 5 z z i z z i z z i + −−  + + −  + + −

1 2 3 9 5 1 5 1 9 5 z z i + −   +  − .

MỘT SỐ VÍ DỤ II.

I