Chuyên đề cực trị số phức

toanthaycu.com

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC

(TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM) A. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN NHỚ.

1. Môđun của số phức:Số phức z a bi   được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ

dài của véctơ OM



được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu 2 2 z = a + bi = a + b

 Tính chất

 2 2 z a b zz OM    



 0, , 0 0 z z z z      

 . ' . ' z z z z     , ' 0 ' ' z z z z z    ' ' ' z z z z z z     

 . , kz k z k  

 Chú ý:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 . z a b abi a b a b a b z z z z            .

Lưu ý:  1 2 1 2 z z z z    dấu bằng xảy ra   1 2 0 z kz k   

 1 2 1 2 z z z z    dấu bằng xảy ra   1 2 0 z kz k    .

 1 2 1 2 z z z z    dấu bằng xảy ra   1 2 0 z kz k   

 1 2 1 2 z z z z    dấu bằng xảy ra   1 2 0 z kz k   

   2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 z z z z z z     



2 2 z z z z   z 

2.Một số quỹ tích nên nhớ

Biểu thức liên hệ ,x y Quỹ tích điểm M

ax 0 by c    (1)

z a bi z c di     (2)

(1)Đường thẳng :ax 0 by c    

(2) Đường trung trực đoạn AB với

      , , , A a b B c d

    2 2 2 x a y b R     hoặc

z a bi R   

Đường tròn tâm   ; I a b , bán kính R

    2 2 2 x a y b R     hoặc

z a bi R   

Hình tròn tâm   ; I a b , bán kính R

    2 2 2 2 r x a y b R      hoặc

r z a bi R    

Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm   ; I a b , bán kính lần lượt là ,r R

 

2

2 0 y ax bx c c x ay by c

        

Parabol

    

2 2

2 2 1 1 x a y c b d     hoặc

1 1 2 2 2 z a bi z a b i a      

1 Elip

 2 Elip nếu     1 1 2 2 2 , , , , a AB A a b B a b 

Đoạn AB nếu 2a AB 

Trang 2

    2 2

2 2 1 x a y c b d    

Hypebol

B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z    , tìm Min z . Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm   ; M x y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với   ; A a b



2 2 0 1 1 2 2

2 2

Min z z a b

a b z i

       

TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . z a bi z c di     Tìm min z . Ta có

 Quỹ tích điểm   ; M x y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với     ; , ; A a b B c d

  

   

2 2 2 2

2 2 ,

2 Min

a b c d z d O AB

a c b d

    

  

Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản. Ví dụ 1:

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện . z a bi z c di      Khi đó ta biến đổi

. z a bi z c di z a bi z c di          

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện . iz a bi z c di     Khi đó ta biến đổi

. a bi c di iz a bi iz c di z z z b ai z d ci i i                

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện   0 0 z a bi R z z R       . Tìm , Max Min z z . Ta có

 Quỹ tích điểm   ; M x y biểu diễn số phức z là đường tròn tâm   ; I a b bán kính R



2 2

0

2 2

0

Max

Min

z OI R a b R z R

        

       

Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện a bi R iz a bi R z i i        (Chia hai vế cho i )

z b ai R    

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R        (Lấy liên hợp 2 vế)

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện   2 2 a bi R R c di z a bi R z c di c di c d

           

Hay viết gọn 1 0 1

0 0

z R z z z R z z z      (Chia cả hai vế cho 0z )

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.