Các dạng bài tập VDC cực trị số phức

BÀI 4. CỰC TRỊ SỐ PHỨC

A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Các bất đẳng thức thường dùng

a. Cho các số phức 1 2 , z z ta có:

+) 1 2 1 2 z z z z    (1).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

1 2 1

0

0, , 0,

z

z k k z kz

         .

+) 1 2 1 2 z z z z    (2).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

1 2 1

0

0, , 0,

z

z k k z kz

         .

b. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Cho các số thực , , , a b x y ta có:    2 2 2 2 ax by a b x y    

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay bx  .

2. Một số kết quả đã biết

a. Cho hai điểm , A B cố định. Với điểm M bất kỳ luôn có bất đẳng thức tam giác:

+) MA MB AB   , dấu “=” xảy ra M  nằm giữa hai điểm , A B .

+) MA MB AB   , dấu “=” xảy ra B  nằm giữa hai điểm , A M .

b. Cho hai điểm , A B nằm cùng phía đối với đường thẳng d và M là điểm di động trên d . Ta có:

+) MA MB AB   , dấu “=” xảy ra  Ba điểm , , A M B thẳng hàng.

+) Gọi A là điểm đối xứng với A qua d , khi đó ta có

MA MB MA MB A B       , dấu “=” xảy ra  Ba điểm , , A M B  thẳng hàng.

c. Cho hai điểm , A B nằm khác phía đối với đường thẳng d và M là điểm di động trên d . Ta có:

+) MA MB AB   , dấu “=” xảy ra M  nằm giữa hai điểm , A B .

+) Gọi A là điểm đối xứng với A qua d , khi đó ta có

MA MB MA MB A B       , dấu “=” xảy ra  Ba điểm , , A M B  thẳng hàng.

d. Cho đoạn thẳng PQ và điểm A không thuộc PQ, M là điểm di động trên đoạn thẳng PQ, khi đó

  max max , AM AP AQ  . Để tìm giá trị nhỏ nhất của AM ta xét các trường hợp sau:

+) Nếu hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng PQ nằm trên đoạn PQ thì min AM AH  .

+) Nếu hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng PQ không nằm trên đoạn PQ thì

  min min ; AM AP AQ  .

e. Cho đường thẳng và điểm A không nằm trên . Điểm M trên  có khoảng cách đến A nhỏ nhất

chính là hình chiếu vuông góc của A trên .

f. Cho ,x y là các tọa độ của các điểm thuộc miền đa giác 1 2... n A A A . Khi đó giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của

biểu thức F ax by   ( ,a b là hai số thực đã cho không đồng thời bằng 0 ) đạt được tại một trong các

đỉnh của miền đa giác.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Với các số thực , , , a b x y ta có

   2 2 2 2 ax by a b x y     .

Dấu “=” xảy ra khi a b x y  .

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Phương pháp hình học

1. Phương pháp giải

Vi dụ: Cho số phức z thỏa mãn

   

2 2 z z i z z    . Giá trị nhỏ nhất của 3 z i 

bằng

A. 3. B. 3 .

C. 2 3 . D. 2.

Hướng dẫn giải

Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ bài toán số phức Giả sử   , z x yi x y    z x yi    . Khi đó

Bất đẳng thức tam giác

1 2 1 2 z z z z    . Dấu “=” xảy ra khi   1 2 0 z kz k   .

1 2 1 2 z z z z    . Dấu. “=” xảy ra khi   1 2 0 z kz k   .

1 2 1 2 z z z z    . Dấu. “=” xảy ra khi   1 2 0 z kz k   .

1 2 1 2 z z z z Dấu “=” xảy ra khi   1 2 0 z kz k   .

Các bất đẳng thức

thường dùng

sang ngôn ngữ hình học.      

2 2 2 2 2 2 4 z z i z z yi x i y x        .

Gọi     ; ; 0; 3 M x y A  lần lượt là điểm biểu diễn

cho số phức ; 3 z i  thì 3 z i MA   .

Bước 2: Sử dụng một số kết quả đã biết để giải

bài toán hình học.

Parabol 2 y x  có đỉnh tại điểm   0;0 O , trục đối

xứng là đường thẳng 0 x  . Hơn nữa, điểm A

thuộc trục đối xứng của parabol, nên ta có:

3 MA OA  . Suy ra, min 3 MA  khi M O  .

Bước 3: Kết luận cho bài toán số phức. Vậy min 3 3 z i   , khi 0 z  . Chọn A.

2. Bài tập mẫu

Bài tập 1: Cho số phức z thỏa mãn 3 4 1 z i  . Môđun lớn nhất của

số phức z bằng

A. 7. B. 6.

C. 5. D. 4.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi     ; , 3;4 M x y I là các điểm biểu diễn lần lượt cho các số phức

;3 4 z i  . Từ giả thiết 3 4 1 1 z i MI   .

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường

tròn tâm   3;4 I , bán kính 1 r .

Mặt khác z OM  . Mà OM đạt giá trị lớn nhất bằng OI r  , khi

M là giao điểm của đường thẳng OM với đường tròn tâm   3;4 I , bán

Nhận xét:

OI r OM z OI r     