Các dạng bài tập VDC phương trình bậc hai trên tập số phức

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

A. LÍ THUYẾT

1. Căn bậc hai của một phức

Định nghĩa

Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn 2  z w được gọi là

một căn bậc hai của w

Tìm căn bậc hai của số phức w

 w là số thực.

+ Nếu 0  w thì w có hai căn bậc hai là  i w và

  i w

+ Nếu 0  w thì w có hai căn bậc hai là w và w

   w a bi   ,  a b , 0  b

Nếu   z x iy là căn bậc hai của w thì   2    x iy a bi

Do đó ta có hệ phương trình:

2 2

2x

     

x y a y b

Mỗi nghiệm của hệ phương trình cho ta một căn bậc hai

của w

2. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Xét phương trình 2 0    az bz c   , ,c ; 0    a b a

Ta có 2 4   b ac

 Nếu 0  thì phương trình có nghiệm thực 2 b x a

 Nếu 0  thì phương trình có hai nghiệm thực phân

biệt:

1 2    b x a ; 2 2    b x a

 Nếu 0  thì phương trình có hai nghiệm thực phân

biệt:

1 2

   b i x a ; 2 2

   b i x a

Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương trình bậc hai 2 0    ax bx c   0  a có hai nghiệm

Nhận xét:

+) Số 0 có đúng một căn bậc hai

là 0

+) Mỗi số phức khác 0 có hai căn

bậc hai là hai số đối nhau (khác

0)

Chú ý:

Mọi phương trình bậc n:

1 0 1 1 ... 0        n n n n A z A z A z A

luôn có n nghiệm phức (không

nhất thiết phân biệt) với n nguyên

dương.

phân biệt 1x , 2x (thực hoặc phức) thì

1 2

1 2

        

b S x x a c P x x a

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình. Tính toán biểu thức nghiệm

1. Phương pháp giải

Cho phương trình:

2 0    az bz c   , ,c ; 0    a b a

 Giải pương trình bậc hai với hệ số thực

 Áp dụng các phép toán trên tập số phức

để biến đổi biểu thức

Ví dụ: Xét phương trình 2 2 5 0    z z

a) Giải phương trình trên tập số phức

b) Tính 1 2  z z

Hướng dẫn giải

a) Ta có:   2 ' 1 5 4 2   i

Phương trình có hai nghiệm là:

1 2 2   z i ; 2 2 2   z i

b) Ta có 2 2 1 2 2 2 2 2     z z

Suy ra 1 2 2 2 2 2 4 2     z z

2. Bài tậ

Bài tập 1. Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình 2 1  z z    z ?

A. 1 3 2  i B. 1 3 2  C. 1 3 2  D. 1 2 2  i

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có 2 1  z z    z

2 2 2 1 1 3 1 3 2. . 2 4 4 2 4             

i z z z

1 3 1 3 2 2 2 1 3 1 3 2 2 2

                      

i i z z

i i z z

Bài tập 2. Phương trình 2 0    z az b   ,  a b có nghiệm phức là 3 4 i . Giá trị của  a b bằng

A. 31 B. 5 C. 19 D. 29

Hướng dẫn giải

Chọn C Chú ý: Nếu 0z là

Cách 1: Do 3 4   z i là nghiệm của phương trình 2 0    z az b nên ta có:

       2 3 4 3 4 0 3 7 4 24 0            i a i b a b a i

3 7 0 6

4 24 0 25

              

a b a

a b

Do đó 19   a b

Cách 2: Vì 1 3 4   z i là nghiệm của phương trình 2 0    z az b nên

2 3 4   z i cũng là nghiệm của phương trình đã cho

Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có 1 2

1 2 .

     

z z a

z z b

     

3 4 3 4 6 19 25 3 4 3 4

                   

i i a a a b b i i b

nghiệm của phương

trình bậc hai với hệ

số thực thì 0z cũng

là nghiệm của

phương trình

Bài tập 3. Gọi 0z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2 6 34 0    z z . Giá trị của

0 2   z i là

A. 17 B. 17 C. 2 17 D. 37

Hướng dẫn giải

Chọn A

ra có  2 ' 25 5   i . Phương trình có hai nghiệm là 3 5  z i ; 3 5  z i

Do đó 0 0 3 5 2 1 4 17       z i z i i

Bài tập 4. Gọi 1z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2 2 5 0    z z

Tọa độ điểm biểu diễn số phức

1

7 4 i z trên mặt phẳng phức là

A.   3;2 P B.   1; 2  N C.   3; 2  Q D.   1;2 M

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có 2 1 2 2 5 0 1 2

      

z i z z z i

Theo yêu cầu của bài toán ta chọn 1 1 2  z i . Khi đó:

  

2 2 1

7 4 1 2 7 4 7 4 3 2 1 2 1 2           i i i i i z i

Vậy điểm biểu diễn của số phức là   3;2 P