Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun số phức

Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 1 

NGUYỄN HOÀNG VIỆT LUYENTHITRACNGHIEM.VN

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA MODUL SỐ

PHỨC



DẠNG TOÁN 1. ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Cho đường thẳng : 0 Ax By C     và điểm . M  Điểm N  sao cho NM nhỏ nhất K  là hình

chiếu của N lên ,  nghĩa là   min d , . NM NK N M K    

  min 2 2 , C z OH d N

A B     

Khi đó M H  và tọa độ ( ). H OH 

  min 2 2 ( ) , Ax By C z x y i NK d N

A B

        

Khi đó M K  và tọa độ . K NK 

BÀI TẬP TẠI LỚP

Câu 1: Cho z x yi   thỏa 2 4 2 z i z i     và z đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 3 2 x y  bằng

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Chọn A

Ta có: 2 4 2 z i z i    

( 2) ( 4) ( 2) x y i x y i       

2 2 2 2 ( 2) ( 4) ( 2) x y x y       

4 0: x y     là đường thẳng . d

Khi đó: min min z OM z OM   

. M H  

Do : 4 0 OH d x y    

: 0. OH x y m    

(0;0) 0 O OH m    : 0. OH x y   

Tọa độ H d OH   thỏa 4 0 x y x y      

Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 2 

NGUYỄN HOÀNG VIỆT LUYENTHITRACNGHIEM.VN

2 3 2 2. 2 x x y y

        

Cách 2. Từ : 4 d y x  

2 2 2 2 2 (4 ) 2( 2) 8 8 2 2. z x y x x x           

Suy ra: min 2 2 2 2 3 2 2. z x y x y        

Cách 3. Sử dụng Cauchy – Schwarz, có

2 2 2 2 2 2 ( ) 4 2 2. 1 1 1 1 2 x y x y z x y         

Dấu " "  khi x y  và 4 x y   2 3 2 2. x y x y      

 Lưu ý. Nếu đề bài chỉ yêu cầu tính min | | , z thì nó là min | | ( ; ). z OH d O d  

Câu 2: Cho z x yi thỏa mãn 1 5 3 z i z i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm . 3x y

A. 5

12 B. 12

5 C. 12

5 D. 5 12

Lời giải Chọn C

Ta có 1 5 3 1 5 3 z i z i x yi i x yi i

2 2 2 2

1 5 3 1

1 5 3 1

2 10 26 6 2 10 3 4 0 4 3

x y i x y i

x y x y

x y x y x y x y

Ta có

2 2 2 2 2 2 6 8 8 4 3 10 24 16 10 5 5 5 z x y y y y y y

Suy ra min

8 6 2 12 3 5 5 5 5 z y x x y .

Câu 3: Cho z x yi thỏa mãn 3 2 z i z i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm . 2 x y

A. 1. B. 1

5 . C. 2 . D. 3

5 .

Lời giải Chọn A Ta có 3 2 3 2 1 z i z i x y i x y i

x y x y 2 2 2 2 3 2 1

x y x y 2 1 0 2 1

Ta có

2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 5 4 1 5 5 5 5 z x y y y y y y

Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 3 

NGUYỄN HOÀNG VIỆT LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Suy ra min

1 2 1 2 1 5 5 5 z y x x y .

Câu 4: Cho z x yi thỏa mãn 2 3 z i z i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của x y 4 2 bằng

A. 1. B. 1

2 . C. 5

2 . D. 3

2 .

Lời giải Chọn A

Ta có 2 3 2 1 3 z i z i x y i x y i

x y x y 2 2 2 2 2 1 3

x y x y 1 0 1

Ta có

2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 z x y y y y y y

Suy ra min

1 1 1 2 2 2 z y x .

Vậy x y 4 2 1.

Câu 5: Cho số phức z thỏa 2 2 4 . z i z i Giá trị nhỏ nhất của 1 iz bằng

A. 2 2 . B. 2 . C. 2 2 . D. 3 2

2 .

Lời giải

Chọn C Gọi ( ; ) M x y biểu diễn số phức . z x yi

2 2 4 z i z i ( 2) ( 2) ( 4) x y i x y i

2 0 x y là đường thẳng . d

Có 1 iz i z i z i AM với (0;1). A

min min 1 iz AM M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). Khi đó:

min min 2 2 1 2 2 1 ( ; ) 2 1 1 iz AM d A d

Câu 6: Cho z thỏa 1 2 3 1. z i z i Giá trị nhỏ nhất của 2 2 z i bằng

A. 1. B. 3

2 . C. 5

2 . D. 5 .

Lời giải

Chọn B Gọi ( ; ) M x y biểu diễn số phức . z x yi