Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm số phức - Phùng Hoàng Em

GIẢI TÍCH 12 – HKII ÔN THI THPT QUỐC GIA

§1. NHẬP MÔN SỐPHỨC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Sốphức và các khái niệm liên quan

1. Cho sốphức z = a+ bi (a,b ∈R). Khi đó:

• a là phần thực, b là phần ảo.

• i là đơn vịảo, i2 = −1.

• Nếu a = 0 thì z là sốthuần ảo.

• Nếu b = 0 thì z là một sốthực.

2. Quan hệgiữa các tập hợp số:

• Tập sốphức kí hiệu là C.

• Quan hệcác tập hợp số: N ⊂Z ⊂Q ⊂R ⊂C.

3. Hai sốphức bằng nhau: Cho z1 = a+ bi và z2 = c + di (a,b, c,d ∈R). Khi đó:

• z1 = z2 ⇔

( a = c

b = d . • z1 = 0 ⇔

( a = 0

b = 0 .

4. Biểu diễn hình học của sốphức

Mỗi sốphức z = a+bi được biểu diễn bởi duy nhất một điểm M(a,b) trên mặt phẳng tọa độ.

O x

y

b

a

M

5. Mô-đun sốphức:

• Độdài của véc-tơ # » OM được gọi là mô-đun của sốphức z và kí hiệu là |z|.

• Từđịnh nghĩa, suy ra |z| = p

a2 + b2 hay |a+ bi| = p

a2 + b2 .

Tính chất:

• |z| ≥0, ∀z ∈C; |z| = 0 ⇔z = 0.

• ¯¯z.z′¯¯ = |z|. ¯¯z′¯¯.

• ¯¯¯ z

z′

¯¯¯ = |z|

|z′|.

• ¯¯|z|− ¯¯z′¯¯¯¯ ≤ ¯¯z ± z′¯¯ ≤|z|+ ¯¯z′¯¯.

6. Sốphức liên hợp: Cho sốphức z = a+ bi (a,b ∈R).

• Ta gọi a−bi là sốphức liên hợp của z và kí hiệu là z.

• Vậy, z = a−bi hay a+ bi = a−bi

• Chú ý: z.z = |z|2 = a2 + b2

O x

y b

a

z = a+ bi

−b z = a−bi

Phùng V. Hoàng Em 1 Ô 0972.657.617

GIẢI TÍCH 12 – HKII ÔN THI THPT QUỐC GIA

2. Phép toán trên sốphức

1. Cộng, trừhai sốphức: Ta cộng (trừ) phần thực theo phần thực, phần ảo theo phần ảo.

• (a+ bi)+(c + di) = (a+ c)+(b + d)i. • (a+ bi)−(c + di) = (a−c)+(b −d)i.

2. Phép nhân hai sốphức: Ta nhân phân phối, tương tựnhân hai đa thức. Lưu ý: i2 = −1.

(a+ bi)(c + di) = (ac −bd)+(ad + bc)i

3. Phép chia hai sốphức: Cho hai sốphức z1 = a+ bi và z2 = c + di. Thực hiện phép chia z1

z2 , ta nhân thêm z2

ởtửvà mẫu. z1 z2 = z1.z2

z2.z2 = (a+ bi)(c −di)

c2 + d2 = (ac + bd)−(ad −bc)i

c2 + d2 = m+ ni.

4. Sốphức nghịch đảo của z là 1

z.

5. Lũy thừa của đơn vịảo:

• i2 = −1.

• i3 = −i.

• in = 1 nếu n chia hết cho 4.

• in = i nếu n chia 4 dư 1.

• in = −1 nếu n chia 4 dư 2.

• in = −i nếu n chia 4 dư 3.

3. Phương trình bậc hai với hệsốthực

Xét phương trình ax2 + bx+ c = 0, với a, b, c ∈R và a ̸= 0. Đặt ∆= b2 −4ac, khi đó:

1. Nếu ∆≥0 thì phương trình có nghiệm x1,2 = −b ± p

∆ 2a .

2. Nếu ∆< 0 thì phương trình có nghiệm x1,2 = −b ± ip|∆|

2a .

3. Định lý Viet: x1 + x2 = −b

a và x1.x2 = c

a

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

d Vấn đề1. Xác định các đại lượng liên quan đến sốphức

1. Biến đổi sốphức z vềdạng A +Bi

2. Khi đó:

• Phần thực là A;

• Phần ảo là B;

• Sốphức liên hợp là A +Bi = A −Bi;

• Mô - đun bằng p

A2 +B2

Phùng V. Hoàng Em 2 Ô 0972.657.617

GIẢI TÍCH 12 – HKII ÔN THI THPT QUỐC GIA

Ví dụ1. Xác định phần thực và phần ảo của sốphức z, biết:

z = (2+3i)+(5−3i) a) z = (3+2i)2 b) z = (2+ i)(1−2i)+ 2i

1+ i c)

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ví dụ2. Tìm nghịch đảo của sốphức z = 2−3i.

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ví dụ3. Tìm phần thực và phần ảo của sốphức z =

à 1+ i p

3 1+ i

!3 .

Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …