Các dạng bài tập cơ bản về Số phức - Đặng Việt Hùng

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn

1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC

Một số phức z là một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = –1. Trong đó: i là đơn vị ảo. a được gọi là phần thực của số phức b được gọi là phần ảo của số phức Tập hợp các điểm biểu diễn số phức kí hiệu là C. Chú ý: ♦ Số phức z là số thực nếu b = 0, khi đó z = a. ♦ Số phức z là số ảo (hay số thuần ảo) nếu a = 0, khi đó z = bi.

♦ Hai số phức z = a + bi và ' ' ' z a b i = + nếu '

'

a a

b b

=  = 

♦ Với i là đơn vị ảo ta có: ( )

2 2 3 2 4 2 5 4 1; . ; 1; . ... i i i i i i i i i i i = − = = − = = = =

Từ đó suy ra 4 4 1 4 2 4 3 0 + + + + + + = n n n n i i i i Ví dụ: Tính tổng 2 3 2012 1 ... . = + + + + + S i i i i Ví dụ 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau a) z = 2 + 3i b) z = 4i c) z = –1

d) z 2 2i = − e) z = (1 + i)2 – (1 – i)2 f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) Hướng dẫn giải: Theo định nghĩa số phức ta có a) z = 2 + 3i ⇒ a = 2; b = 3 b) z = 4i ⇒ a = 0; b = 4 c) z = –1 ⇒ a = –1; b = 0 d) 2 2 2; 2 z i a b = − ⇒ = = − e) Để tìm phần thực, phần ảo ta cần biến đổi số phức đã cho về dạng rút gọn.

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 4 0; 4 i i i i i i i i i a b + − − = + + − − + = −− = ⇒ = = , (do i2 = –1 )

f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) = 9 – 2i ⇒ a = 9; b = –2. Ví dụ 2. Tìm các số thực x và y, biết: a) (2x +1) + (3y – 2)i = (x + 2) + (y + 4)i b) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 2 1 x y i x y x i − + + = + − +

Hướng dẫn giải:

Ta biết rằng hai số phức z = a + bi và ' ' ' z a b i = + nếu '

'

a a

b b

=  = 

a) Ta có 2 1 2 1

3 2 4 2

x x x

y y y

+ = + =   ⇒   − = + =  

b) Ta có ( )

3 1 3 4 1

2 1 2 1 2 2 5

x x y x y x y x x y y

 − = +  + = =    ⇔ ⇒    + = − + + = −     = − 

Ví dụ 3. Cho ( ) ( ) = + + − 3 2 4 z a b i . Tìm các số a, b để:

a) z là số thực b) z là số thuần ảo

Hướng dẫn giải: a) z là số thực khi b – 4 = 0, hay b = 4. b) z là số thuẩn ảo khi 3a + 2 = 0, hay a = –2/3

Tài liệu bài giảng: 01. MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P1

Thầy Đặng Việt Hùng

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn

Bài tập áp dụng:

Bài 1. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức:

1. z 3 5i = −+ 2. z 2i = − 3. z = 12 4. z = 0 5. z = (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i). 6. z = (1 + i)2 – (1 – i)2 7. z = (2 + i)3 – (3 – i)3. 8. z = (3 – 5i) + (2 + 4i) 9. z = (11 – 6i) – (2 – 4i) 10. z = (2 + i) – (1 + 4i)

Bài 2. Cho ( ) ( ) z 2a 1 3b 5 i = − + + với a,b R ∈ . Tìm các số a, b để:

1. z là số thực 2. z là số thuần ảo Bài 3. Tìm các số thực x và y, biết:

1. ( ) ( ) 2x 1 5i 4 3y 2 i + + = −+ −

2. ( ) ( ) x 2 4i 3 y 1 i − − = − +

2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

Cho số phức z = a + bi ( ) , ∈ a b R được biểu diễn bởi điểm M(a; b) (hay M(z)) trong mặt phẳng tọa độ Oxy (hay còn gọi là mặt phẳng phức) Trong đó: - Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn phần thực a. - Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn phần ảo b. Ví dụ. Cho các số phức 2 + 3i; 3; –i; –1 + 2i có các điểm biểu diễn lần lượt là A, B, C, D a) Chứng minh rằng ABCD là một hình bình hành b) Tâm I của hình bình hành ABCD biểu diễn số phức nào?

3. MODULE CỦA SỐ PHỨC

Khái niệm:

Cho số phức z = a + bi, module của số phức z kí hiệu là |z| và được tính theo biểu thức: 2 2 = + z a b Ví dụ: Tính module của các số phức sau 1. z = 1 + 3i 2. z = 2i

3. z 3 i = −

4. ( ) ( ) 2 2 z 2 i 1 2i = + + +

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức 2 2 z a b = + ta có

1. z 1 3i z 1 9 10 = + ⇒ = + =

2. z 2i z 4 2 = ⇒ = =

3. z 3 i z 3 1 2 = −⇒ = + =

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 z 2 i 1 2i 4 2i i 1 4i 4i 3 2i 4i 3 6i z 6 = + + + = + + + + + = + + − = ⇒ =

4. SỐ PHỨC LIÊN HỢP

Khái niệm: Cho số phức z = a + bi, số phức liên hợp của số phức z kí hiệu là z và được tính theo biểu thức: = − z a bi Chú ý: + Các điểm M(a ; b) và M’(a ; –b) biểu diễn các số phức z và z đối xứng nhau …