Bài toán cực trị hình học không gian

CHỦ ĐỀ 13: BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH KHÔNG GIAN

I. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

• Áp dụng các phương pháp tính thể tích thông qua tam giác vuông; các loại góc và khoảng cách trong

không gian cũng như các công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ.

• Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa biến.

Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho các số thực dương

- Dạng 2 số:

2 2 2 2 a b a b ab ab + + ≥ → ≤ hoặc ( )

2

4 a b ab + ≤

- Dạng 3 số:

3 3 3 3 3 3 a b c a b c abc abc + + + + ≥ → ≤ hoặc

3 ( ) 27 a b c abc + + ≤

Cách 2. Khảo sát hàm số f(x) trên khoảng xác định (đạo hàm – lập bảng biến thiên)

2. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 4, cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng đáy (ABCD) và SC = 6. Tính thể tích lớn nhất max V của khối chóp đã cho

A. max 40 3 V = B. max 80 3 V = C. max 20 3 V = D. max 24 V =

Lời giải

Đặt AD x = ⇒ Diện tích hình chữ nhật ABCD là 4 ABCD S x =

Tam giác ABC vuông tại B, có 2 2 2 16 AC AB BC x = + = +

Tam giác SAC vuông tại A, có 2 2 2 20 SA SC AC x = − = −

Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD là

2 2 . 1 1 4 . . . 20 .4 . 20 3 3 3 S ABCD ABCD V SA S x x x x = = − = −

Ta có ( )

2 2 2

2 20 20 40 . 20 10 2 2 3

x x x x V + − − ≤ = = ⇒ ≤

Dấu bằng xảy ra khi 2 20 10 x x x = − ⇔ = . Vậy max 40 3 V = .

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 4, các cạnh bên bằng nhau và

bằng 6. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là

A. max 40 3 V = B. max 64 3 V = C. max 128 3 V = D. max 32 3 V =

Lời giải

Vì SA SB SC SD = = = ⇒ Hình chiếu của S trên mặt phẳng

(ABCD) là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ( ) SO ABCD ⇒ ⊥

Đặt AB x = . Ta có 2 2 2 16 BD AB AD x = + = +

Tam giác SBO vuông tại O, có

2 2 2 2 16 128 36 4 2 x x SO SB OB + − = − = − =

Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD là

2 2 . 1 1 128 2 . . . .4 . 128 3 3 2 3 S ABCD ABCD x V SO S x x x − = = = −

Mà

2 2 2 128 2 128 128 64 .64 2 3 3 x x x x V + − − ≤ = → ≤ = . Vậy max 128 3 V = . Chọn C

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 4, SC = 6. Tam giác SAD cân tại

S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là

A. max 40 3 V = B. max 20 3 V = C. max 20 V = D. max 80 3 V =

Lời giải

Gọi H là trung điểm AD. Tam giác SAD cân tại S SH AD ⇒ ⊥

Ta có ( ) ( ) ( ) 1. . 3 ABCD SAD ABCD SH ABCD V SH S ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =

Đặt 2 . 8 ABCD AD x S AB AD x = → = =

Tam giác HCD vuông tại D, có 2 2 2 16 HC HD CD x = + = +

Tam giác SHC vuông tại H, có 2 2 2 20 SH SC HC x = − = −

Do đó

2 2 2 2 1 8 8 20 80 . 20 .8 . 20 . 3 3 3 2 3 x x V x x x x + − = − = − ≤ =

Dấu bằng xảy ra khi 2 20 10 x x x = − ⇔ = . Vậy max 80 3 V = . Chọn D

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = 1. Các cạnh bên SA = SB =

SC = 2. Tính thể tích lớn nhất max V của khối chóp đã cho

A. max 2 3 V = B. max 5 8 V = C. max 5 4 V = D. max 4 3 V =

Lời giải

Gọi H là trung điểm BC, ABC ∆ vuông tại A

Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC ∆