Các dạng bài tập VDC mặt cầu, khối cầu

BÀI 3: MẶT CẦU – KHỐI CẦU

A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa

- Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu tâm O, bán

kính R, kí hiệu là:   ; . S O R Khi đó

   ; . S O R M OM R  

- Khối cầu hay hình cầu   ; S O R là tập hợp tất cả các

điểm M sao cho . OM R 

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và một điểm

Cho mặt cầu   ; S O R và một điểm A. Nếu:

+) OA R  thì điểm A nằm trên mặt cầu   ; . S O R

+) OA R  thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu   ; . S O R

+) OA R  thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu   ; . S O R

Ta thường vẽ hay biểu diễn một mặt cầu hay khối cầu như hình sau:

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu   ; S I R và đường thẳng . Gọi

H là hình chiếu của I lên  hay   ; . d I IH 

Nếu:

+) : IH R   không cắt mặt cầu hay mặt

cầu   S ;I R và đường thẳng  không có điểm

chung.

+) IH R  thì  với mặt cầu   ; S I R có một

điểm chung duy nhất là H. Ta nói  là một tiếp

tuyến của mặt cầu   ; S I R và H là tiếp điểm.

+) : IH R   cắt mặt cầu   ; S I R tại hai

điểm phân biệt.

Nhận xét:

+) IAB cân tại I, điểm H là trung điểm của AB và

2 2 2 2 2 . 2 AB R IH AH IH         

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu   ; S I R và mặt phẳng  P . Gọi

H là hình chiếu vuông góc của I lên  P hay

   ; . d I P IH  Nếu:

+) : IH R  Mặt cầu   ; S I R và mặt phẳng

 P không có điểm chung.

+) Nếu : IH R  Mặt phẳng  P tiếp xúc

mặt cầu   ; S I R . Lúc này ta nói mặt phẳng  P

là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm.

Lưu ý:  IH P 

+) Nếu : IH R  Mặt phẳng  P cắt mặt cầu

theo thiết diện là đường tròn có tâm   I I H  

và bán kính

2 2 2 2. r R IH R I I    

Nhận xét: Đường tròn giao tuyến có diện tích

lớn nhất khi mặt phẳng  P đi qua tâm I của mặt

cầu   ; S I R . Đường tròn này ta gọi là đường

tròn lớn.

Công thức cần nhớ

Cho mặt cầu   ; . S I R

- Diện tích mặt cầu 2 4 . S R  

- Thể tích khối cầu 3 4 . 3 V R  

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện

Các khái niệm cần lưu ý:

- Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện: là mặt cầu mà nó đi qua tất cả các đỉnh của hình đa diện. Tâm của mặt cầu ngoại tiếp cách đều tất cả các đỉnh của hình đa diện.

- Trục của đa giác: là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác. Mọi điểm nằm trên trục thì cách đều các đỉnh của đa giác và ngược lại.

- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: Là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai điểm mút của đoạn thẳng và ngược lại.

Phương pháp giải

Đối với bài toán mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện thì mấu chốt của vấn đề là phải xác định được tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện đó. Khi xác định được tâm của mặt cầu ngoại tiếp thì ta có thể tính được các yếu tố còn lại như bán kính, diện tích mặt cầu, thể tích của khối cầu...

Bài tập: Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 2 ,4 ,4 , a a a với 0 . a R   Bán kính của mặt cầu

ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho bằng

A. 6a. B. 4a. C. 3a. D. 2a.

Hướng dẫn giải

Giả sử hình hộp chữ nhật là ABCD.A'B'C'D'. Dễ thấy điểm O là trung điểm của AC’ là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là . R OA 

    2 2 1 1 2 2 R AC A A A C      

     

     

2 2 2

2 2 2

1 2 1 2 4 4 3 . 2

A A A D D C

a a a a

     

   

Chọn C.

Bài tập mẫu