Các dạng bài tập VDC mặt nón, hình nón và khối nón

CHƯƠNG 2: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

BÀI 1: MẶT NÓN

A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

MẶT NÓN TRÒN XOAY

Trong mặt phẳng  P . Cho hai đường thẳng Δ là

 cắt nhau tại O và tạo thành góc  với

0 90  . Khi quay mặt phẳng  P xung quanh

Δ thì đường thẳng  sinh ra một mặt tròn xoay

đỉnh O gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là

mặt nón). Khi đó:

Đường thẳng Δ gọi là trục của mặt nón.

Đường thẳng  được gọi là đường sinh của mặt

nón.

Góc 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.

Nhận xét: Nếu M là một điểm tùy ý của mặt nón

  N khác với điểm O thì đường thẳng OM là

đường sinh của mặt nón đó.

HÌNH NÓN TRÒN XOAY

Cho OIM  vuông tại I quay quanh cạnh góc

vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một

hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình

nón).

Khi đó:

Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là

đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.

Hình tròn tâm I, bán kính r IM  là đáy của hình

nón.

Chú ý: Nếu cắt mặt nón   N bởi hai mặt

phẳng song song  P và  Q với  P

qua O và vuông góc với  thì phần mặt

nón   N giới hạn bởi hai mặt phẳng  P

và  Q và hình tròn giao tuyến của  Q

và mặt nón   N là hình nón.

KHỐI NÓN TRÒN XOAY

Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón

tròn xoay kể cả hình đó ta gọi là khối nón tròn

xoay hay ngắn gọn là khối nón.

Các khái niệm tương tự như hình nón.

Xét khối nón có hình biểu diễn là hình bên thì ta có

nhận xét:

- Nếu mp  P chứa OI thì thiết diện của mp  P

và khối nón là một hình tam giác cân tại O.

- Nếu mp  P vuông góc với OI (không chứa O)

thì thiết diện của mp  P và khối nón (nếu có) là

một hình tròn. Hình tròn thiết diện này có diện tích

lớn nhất khi mp  P đi qua I.

CÔNG THỨC CẦN NHỚ

Hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và độ

dài đường sinh là  thì có:

- Diện tích xung quanh: xq S r .

- Diện tích đáy (hình tròn): 2 ht S r  .

- Diện tích toàn phần: 2 tp S r r    .

- Thể tích khối nón: 2 1 1 . 3 3 ht V S h r h    .

Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình nón hay

khối nón ta thường vẽ như hình bên.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

MẶT NÓN

Trong mặt phẳng  P . Cho hai đường thẳng Δ và

cắt nhau tại O và tạo thành góc . Khi quay mặt phẳng  P xung quanh Δ thì đường thẳng 

sinh ra một mặt tròn xoay đỉnh O gọi là mặt nón tròn xoay.

MẶT NÓN TRÒN XOAY

Cho OMI  vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay.

HÌNH NÓN TRÒN XOAY

Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình đó ta gọi là khối nón tròn xoay hay ngắn gọn là khối nón.

KHỐI NÓN TRÒN XOAY

CÁC CÔNG THỨC

Diện tích xung quanh xq S r 

Diện tích đáy 2 ht S r 

Diện tích toàn phần 2 tp S r r   

Thể tích 2 1 1 . 3 3 ht V S h r h   

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện của hình nón

1. Phương pháp giải

Nắm vững các công thức về diện tích xung

quanh, diện tích toàn phần, diện tích đáy.

Biết sử dụng các kết quả của phần kiến thức

quan hệ song song, quan hệ vuông góc, các

hệ thức lượng trong tam giác… để áp dụng

vào tính toán.

Ví dụ: Tính diện tích xung quanh của khối nón

có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân

diện tích bằng 2?

A. 2 2 S  . B. 4 S .

C. 2 S . D. 4 2 S  .

Hướng dẫn giải

Tam giác OAB vuông

cân diện tích bằng 2

2 1 2 2 OA  

2 OA OB   

2 2 2 2 2 2 AB   

2 2 AB h R    

Suy ra . 2.2 2 2 xq S   .

Chọn A.

2. Bài tập

Bài tập 1: Cắt một hình nón bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết

diện là tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích toàn phần của hình nón đó.

A. 2 6 a  . B. 2 24 a  . C. 2 3 a  . D. 2 12 a  .

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có 2 3 3, 2 , 2 a h a a r a      .

Diện tích toàn phần của hình nón là

2 2 2 . .2 . 3 tp S r r a a a a       .

Bài tập 2: Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy, diện tích

đáy của hình nón bằng 9. Độ dài đường cao của hình nón bằng

Lưu ý: Diện …